从 Jordan 区域到测度观点¶

选读，不计入第八部核心学时。 本附录只解释第八部常用有界区域背后的 Jordan 内容观点，不作为第 33–36 章任何单元的前置条件。

为什么还要谈区域的“大小”¶

第 33 章借助矩形分割定义 Riemann 重积分。对于矩形之外的有界集合 \(E\)，我们 可以先问一个更基础的问题：能否只用有限个矩形的并，从内部和外部把 \(E\) 的面积 或体积夹到同一个数？

以下以平面为例。所有矩形都取边平行于坐标轴，并允许先把重叠的矩形细分成内部互不 相交的有限族。一个有限矩形族的总面积，就是各矩形面积之和。

Jordan 内含量与外含量¶

设 \(E\subset\mathbb R^2\) 有界。

• Jordan 内含量 \(m_*(E)\) 是所有包含于 \(E\) 的有限个矩形的并之面积上确界。
• Jordan 外含量 \(m^*(E)\) 是所有覆盖 \(E\) 的有限个矩形的并之面积下确界。

任何内部近似都不可能比任何外部覆盖更大，因此

如果二者相等，就称 \(E\) Jordan 可测，共同的值称为 \(E\) 的 Jordan 内容。 这正是“由有限网格从内外夹逼区域大小”的严格版本。

边界判据¶

对有界集合 \(E\)，Jordan 可测性可以用边界 \(\partial E\) 判断：

\(E\) Jordan 可测，当且仅当其边界能够被总面积任意小的有限矩形族覆盖。

直观地说，内部矩形与外部矩形的差只需要包住边界；若这层“边界带”的总面积可以任意 小，内外含量就会相等。由有限条分段光滑曲线围成的常用平面区域，以及由有限张分段 光滑曲面围成的常用空间区域，都满足这一判据。因此第八部反复使用的矩形、圆盘、 扇形、柱体和球体都处于这个安全范围内。

这个判据也解释了为何边界本身常常不会改变重积分：当边界能被任意小的有限矩形族 覆盖时，有界被积函数在这层区域上的贡献也能被压到任意小。

一个限制：稠密集合¶

设 \(E=[0,1]^2\cap\mathbb Q^2\)。它在单位正方形中稠密，而补集同样稠密。 因此 \(E\) 不包含任何非退化矩形，Jordan 内含量为 \(0\)；另一方面，任何由有限个 矩形组成的外部覆盖若遗漏正方形中的一个开小块，就会遗漏其中的有理点，所以 Jordan 外含量为 \(1\)。二者不相等，\(E\) 不是 Jordan 可测集合。

问题不在于它“点很多”或“点很少”，而在于它的边界是整个单位正方形，无法由总面积 任意小的有限矩形族覆盖。有限矩形近似在这里暴露出自身限制。

通往测度观点¶

Jordan 内容适合有界、边界规则的几何区域，但它依赖有限矩形近似，难以稳定处理 稠密集合、可数运算生成的集合以及无界集合。第十一部将引入 Lebesgue 测度， 把“可忽略边界”和“集合大小”放进更强的框架，并进一步建立 Lebesgue 积分。

这里应保留两条认识：

1. 第八部的经典 Riemann 重积分在常用 Jordan 区域上已经完整可用；
2. Jordan 理论的边界告诉我们为什么后续需要更强的测度观点，但本附录不预先使用 后续理论证明第八部结论。

自检¶

1. 为什么定义 Jordan 内容时只需要有限个矩形的并？
2. 边界判据怎样解释圆盘是 Jordan 可测的？
3. 为什么单位正方形内的有理点集内含量为 \(0\)、外含量为 \(1\)？
4. 本附录在哪些方面提示了 Lebesgue 测度的必要性，又没有替代第十一部？