序关系怎样给出极限估计？¶

先备知识¶

第 5 章已证明：若两个极限之间有严格正间隔 \(a<b\)，则对应数列最终满足 \(a_n<b_n\)。本单元研究另一方向：若数列之间已有最终非严格次序，极限之间能保留什么？随后用两侧估计证明夹逼定理。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

证明最终非严格次序在取极限后仍成立；
从正极限推出数列最终严格为正；
说明原数列的严格不等式为何可能在极限处退化为等号；
完整证明并应用夹逼定理。

牵引问题¶

若 \(0\le c_n\le1/n\) 最终成立，即使没有 \(c_n\) 的显式公式，能否确定其极限？上下界都向 \(0\) 靠近时，中间列还能否在某个尾部逃离 \(0\) 的任意小邻域？

探索与猜想¶

从 \(a_n\le b_n\) 最终成立，可以猜测 \(a\le b\)。若反设 \(a>b\)，两极限之间的正间隔会迫使充分大的 \(a_n\) 靠近较大的 \(a\)、\(b_n\) 靠近较小的 \(b\)，从而反过来得到 \(a_n>b_n\)，与已知尾部次序矛盾。

概念与理论¶

定理：非严格次序的极限保序性¶

定理。 若 \(a_n\to a\)、\(b_n\to b\)，且存在 \(N_0\) 使 \(n\ge N_0\) 时 \(a_n\le b_n\)，则 \(a\le b\)。

证明。 反设 \(a>b\)，令 \(d=a-b>0\)。由两列收敛，分别取 \(N_1,N_2\)，使

\[ n\ge N_1\Rightarrow |a_n-a|<\frac d3,\qquad n\ge N_2\Rightarrow |b_n-b|<\frac d3. \]

取 \(N=\max\{N_0,N_1,N_2\}\)。当 \(n\ge N\) 时，

\[ a_n>a-\frac d3>b+\frac d3>b_n, \]

这与 \(a_n\le b_n\) 矛盾。因此 \(a\le b\)。\(\square\)

边界。 即使每个 \(n\) 都有 \(a_n<b_n\)，也只能推出 \(a\le b\)，不能保证 \(a<b\)。例如 \(a_n=-1/n<b_n=1/n\)，但两列极限都为 \(0\)；严格间隔可以在取极限时缩到零。

推论：正极限带来最终严格保号¶

若 \(a_n\to a>0\)，则 \(a_n>0\) 最终成立。

直接证明。 取 \(\varepsilon=a/2>0\)。存在 \(N\)，使 \(n\ge N\) 时 \(|a_n-a|<a/2\)，故

\[ a_n>a-\frac a2=\frac a2>0. \]

注意两种命题的方向不同：由 \(a_n\ge0\) 最终成立只能推出 \(a\ge0\)；要推出 \(a_n>0\) 最终成立，需已知极限有严格正间隔 \(a>0\)。

定理：夹逼定理¶

定理。 若存在 \(N_0\)，使 \(n\ge N_0\) 时

\[ a_n\le c_n\le b_n, \]

且 \(a_n\to L\)、\(b_n\to L\)，则 \(c_n\to L\)。

证明。 任给 \(\varepsilon>0\)。由 \(a_n\to L\) 取 \(N_1\)，使 \(n\ge N_1\) 时 \(L-\varepsilon<a_n<L+\varepsilon\)；由 \(b_n\to L\) 取 \(N_2\)，使 \(n\ge N_2\) 时 \(L-\varepsilon<b_n<L+\varepsilon\)。令 \(N=\max\{N_0,N_1,N_2\}\)。若 \(n\ge N\)，则

\[ L-\varepsilon<a_n\le c_n\le b_n<L+\varepsilon. \]

因此 \(|c_n-L|<\varepsilon\)，即 \(c_n\to L\)。\(\square\)

夹逼只要求不等式最终成立，不要求中间列单调，也不要求知道 \(c_n\) 的公式。

例题与迁移¶

例 1：由绝对值界完成夹逼¶

若 \(|c_n|\le1/n\)，则

\[ -\frac1n\le c_n\le\frac1n. \]

由线性法则，左右两列都趋于 \(0\)，故 \(c_n\to0\)。更短地说，\(|c_n-0|\le1/n\to0\)；两种写法使用的是同一误差控制。

例 2：严格不等式在极限处退化¶

对每个 \(n\)，有

\[ 0<\frac1n<\frac2n. \]

三列都趋于 \(0\)。因此“逐项严格小于”不能推出“极限严格小于”；保序定理的非严格结论 \(0\le0\le0\) 已是一般情形下最强结论。

即时检验与回望¶

若 \(a_n\ge3\) 最终成立且 \(a_n\to a\)，可推出什么？

答案

把常数列 \(3\) 作为较小的一列应用保序定理，得到 \(3\le a\)。不能仅由这些条件推出 \(a>3\)，因为常数列 \(a_n=3\) 满足条件且极限等于 \(3\)。

夹逼定理是否要求 \(c_n\) 单调？

答案

不要求。证明只使用 \(c_n\) 最终位于两个同极限边界之间；即使 \(c_n\) 在边界间振荡，边界收缩仍会迫使其误差小于任意给定 \(\varepsilon\)。

习题与答案¶

习题 1：最终非负的极限¶

若 \(a_n\to a\) 且 \(a_n\ge0\) 最终成立，从定义与反证法证明 \(a\ge0\)。

答案

若 \(a<0\)，取 \(\varepsilon=-a/2>0\)。充分大时 \(|a_n-a|<-a/2\)，从而

\[ a_n<a+\frac{-a}{2}=\frac a2<0, \]

这与 \(a_n\ge0\) 最终成立矛盾。因此 \(a\ge0\)。

习题 2：负极限的最终符号¶

若 \(a_n\to-7\)，证明 \(a_n<-3\) 最终成立。

答案

取 \(\varepsilon=4\)。存在 \(N\)，使 \(n\ge N\) 时 \(|a_n+7|<4\)，于是 \(a_n<-7+4=-3\)。这里 \(-7\) 与 \(-3\) 之间的正间隔提供误差预算。

习题 3：夹逼振荡列¶

只用 \(-1\le\sin n\le1\) 证明 \(\sin n/n\to0\)。

答案

因为 \(n>0\)，

\[ -\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n. \]

两端都趋于 \(0\)，由夹逼定理，\(\sin n/n\to0\)。中间列是否单调或周期与证明无关。

习题 4：识别严格性边界¶

构造 \(a_n<b_n\) 对所有 \(n\) 成立，但 \(\lim a_n=\lim b_n\) 的两个数列，并解释为何不违背保序定理。

答案

取 \(a_n=0\)、\(b_n=1/n\)。每个 \(n\) 都有 \(a_n<b_n\)，但两列都趋于 \(0\)。保序定理只断言极限满足 \(0\le0\)，没有断言严格不等式保留，因此没有矛盾。

习题 5：从误差上界到极限¶

设 \(|c_n-L|\le d_n\) 最终成立，且 \(d_n\to0\)。证明 \(c_n\to L\)。

答案

任给 \(\varepsilon>0\)。由 \(d_n\to0\)，存在 \(N_1\)，使 \(n\ge N_1\) 时 \(|d_n|<\varepsilon\)；又由最终不等式取门槛 \(N_0\)。因 \(|c_n-L|\ge0\) 且 \(|c_n-L|\le d_n\)，共同尾部上 \(d_n\ge0\)。对 \(n\ge\max\{N_0,N_1\}\)，

\[ 0\le|c_n-L|\le d_n=|d_n|<\varepsilon. \]

故 \(c_n\to L\)。

常见误区与后续¶

把 \(<\) 原样传给极限。 严格间隔可能缩为零；一般只能保留非严格次序。
混淆两个方向。 “项最终非负”推出“极限非负”；“极限严格为正”才推出“项最终严格为正”。
夹逼时只控制一侧。 要得到 \(|c_n-L|<\varepsilon\)，必须同时获得下界 \(L-\varepsilon\) 与上界 \(L+\varepsilon\)。
强加单调性。 夹逼依靠边界收缩而非中间列单调。下一单元会把代数差分与区间下界组合成一步误差估计。