从向量分析到微分形式¶

本附录约需 2–3 学时，只用第九部已经建立的 Euclid 空间、参数曲线、参数曲面和重积分。它不计入第九部核心单元、核心学时或核心考核，也不是第十部前置。目标只是用一种记号看见 Green、Gauss、Stokes 背后的共同结构；不证明一般流形上的广义 Stokes 定理。

全文默认形式的系数至少属于计算中所用偏导阶数对应的 \(C^k\) 类；使用 \(d^2=0\) 时明确要求相关系数为 \(C^2\)，从而可以使用混合偏导交换。积分对象 \(M\) 只取正文允许的有界分片光滑定向区域或曲面，\(\partial M\) 分片光滑且取向相容。

在 \(\mathbb R^3\) 中先看 0、1、2、3-形式¶

在坐标 \((x,y,z)\) 中，0-形式就是函数，例如 \(f=x^2y+z\)。1-形式写成

\[ \alpha=P\,dx+Q\,dy+R\,dz, \]

它把向量 \(v=(v_1,v_2,v_3)\) 送到数 \(Pv_1+Qv_2+Rv_3\)。因此向量场 \(F=(P,Q,R)\) 的功积分正是 1-形式的积分。

2-形式采用固定顺序

\[ \beta=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy. \]

我们选定标准体积形式 \(\mathrm{vol}=dx\wedge dy\wedge dz\)。向量场 \(F=(P,Q,R)\) 与体积形式的内乘定义为

\[ (\iota_F\mathrm{vol})(u,v)=\mathrm{vol}(F,u,v). \]

坐标展开给出 \(\iota_F\mathrm{vol}=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy\)；它在有向面 \((u,v)\) 上的取值就是 \(F\cdot(u\times v)\)。这正是通量所需的 2-形式。 3-形式则形如 \(g\,dx\wedge dy\wedge dz\)，在有向体积区域上积分。

楔积只需两条规则：它对每个因子线性，并且 1-形式反交换， \(dx\wedge dy=-dy\wedge dx\)，从而 \(dx\wedge dx=0\)。这里不建立完整外代数。

外微分统一梯度、旋度与散度¶

外微分把 \(k\)-形式变成 \((k+1)\)-形式，并满足 \(d(d\omega)=0\)。对函数 \(f\)，

\[ df=f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz, \]

其系数就是 \(\nabla f\)。对 \(\alpha=P\,dx+Q\,dy+R\,dz\)，按上面的 2-形式顺序，

\[ d\alpha=(R_y-Q_z)\,dy\wedge dz+(P_z-R_x)\,dz\wedge dx +(Q_x-P_y)\,dx\wedge dy, \]

系数正是 \(\nabla\times F\)。对 \(\beta=A\,dy\wedge dz+B\,dz\wedge dx+C\,dx\wedge dy\)，

\[ d\beta=(A_x+B_y+C_z)\,dx\wedge dy\wedge dz =(\nabla\cdot F)\,\mathrm{vol}. \]

在上述 \(C^2\) 条件下，混合偏导交换，因此“梯度的旋度为零”和“旋度的散度为零” 都是 \(d^2=0\) 的坐标影子。

算例一：1-形式沿参数曲线的拉回¶

拉回的意思是把空间中的形式改写成参数变量。令 \(\alpha=-y\,dx+x\,dy\)，圆周参数化 \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\)， \(0\le t\le2\pi\)。代入 \(dx=-\sin t\,dt\)、\(dy=\cos t\,dt\) 得

\[ \gamma^*\alpha=(-\sin t)(-\sin t\,dt)+(\cos t)(\cos t\,dt)=dt, \]

所以

\[ \int_\gamma\alpha=\int_0^{2\pi}dt=2\pi. \]

方向提醒： 若用 \(\widetilde\gamma(t)=\gamma(2\pi-t)\) 反向走圆周，拉回变为 \(-dt\)（配合相应参数区间），积分变成 \(-2\pi\)。

算例二：2-形式在参数曲面上的拉回¶

取 \(F=(x,y,z)\)，相应通量 2-形式为

\[ \beta=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy. \]

用 \(r(u,v)=(u,v,1)\) 参数化正方形 \(0\le u,v\le1\)，并取由 \((r_u,r_v)\) 给出的向上法向。因为 \(dx=du\)、\(dy=dv\)、\(dz=0\)，

\[ r^*\beta=1\,du\wedge dv, \qquad \int_{r([0,1]^2)}\beta=\int_0^1\int_0^1du\,dv=1. \]

方向提醒： 交换参数次序会把 \(du\wedge dv\) 变为 \(dv\wedge du=-du\wedge dv\)，也就是反转法向，通量随之变号。

边界取向与广义 Stokes 口号¶

有向曲面诱导边界方向：当头朝所选法向看去时，边界按右手规则前进；对平面向上法向就是逆时针。三维区域采用外法向。改变整体取向时，边界取向也必须一起改变，不能只改积分号的一边。

只在上述具体 Euclid 正则对象以及足够光滑的 \(\omega\) 语境中，统一口号是

\[ \int_{\partial M}\omega=\int_M d\omega. \]

这里 \(M\) 与 \(\partial M\) 必须带相容取向，形式的次数也要匹配；各经典公式的详细条件回指第 39–41 章。下表只是对照，不替代那些条件检查与证明，也不把口号解释成一般流形上的定理。

经典公式	\(M\)	\(\omega\)	\(d\omega\)	边界与取向
Green	平面有向区域	\(P\,dx+Q\,dy\)	\((Q_x-P_y)\,dx\wedge dy\)	正向边界（通常逆时针）
Gauss	三维有向区域	\(A\,dy\wedge dz+B\,dz\wedge dx+C\,dx\wedge dy\)	\((\nabla\cdot F)\,\mathrm{vol}\)	外法向闭曲面
Stokes	三维有向曲面	\(P\,dx+Q\,dy+R\,dz\)	与 \(\nabla\times F\) 对应的 2-形式	法向诱导的右手边界方向

范围边界与选读回望¶

本附录排除一般流形、切丛、上同调以及完整外代数；也不讨论链、弱导数或测度论形式。特别地，本附录不证明一般流形上的广义 Stokes 定理，只解释经典向量分析公式为何能写成同一个口号。

即时检验与选读练习¶

即时检验 1¶

向量场的功积分对应几形式？

答案

对应 1-形式；沿参数曲线拉回后成为参数变量上的 1-形式再积分。

即时检验 2¶

交换曲面参数 \(u,v\) 的次序会怎样改变通量 2-形式的拉回？

答案

楔积反交换使拉回变号；几何上这正对应法向反转，通量随之变号。

即时检验 3¶

\(d^2=0\) 的坐标计算为什么需要 \(C^2\) 条件？

答案

因为消去二阶项要交换混合偏导；\(C^2\) 条件保证所用的混合偏导相等。

练习 1：函数的外微分¶

写出 \(f=xyz\) 的 \(df\)，再计算 \(d(df)\) 并逐项说明抵消来源。

答案

有 \(df=yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz\)。再次外微分后，\(xy\)、\(xz\)、\(yz\) 的每一对混合偏导项分别乘上次序相反的楔积，因 \(dx\wedge dy=-dy\wedge dx\) 等关系成对抵消，所以 \(d(df)=0\)。

练习 2：1-形式的外微分¶

计算 \(\alpha=z\,dx+x\,dy+y\,dz\) 的 \(d\alpha\)，并按固定 2-形式顺序整理。

答案

取 \(P=z,Q=x,R=y\)，代入坐标公式得到 \(d\alpha=1\,dy\wedge dz+1\,dz\wedge dx+1\,dx\wedge dy\)。

回望时始终先问三件事：积分对象是几形式？参数化的拉回是什么？边界取向是否相容？