导数符号能推出哪些整体性质？¶

先备知识¶

你需要会使用 Lagrange 中值定理：

并掌握单调不减、单调不增、严格递增和严格递减的量词定义。还要记住，导数存在不等于 导函数连续。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 由导数的符号严格推出函数在区间上的单调性；
2. 区分严格单调的充分条件与可导单调函数的必要条件；
3. 证明导数恒零的常值判别和导数有界的增量估计；
4. 用 Fermat 条件与最值定理证明导数的 Darboux 性质；
5. 解释导函数即使不连续也不能发生跳跃。

牵引问题¶

温度在每一时刻的瞬时变化率都非负，能否保证任意较晚时刻的温度不低于较早时刻？如果 瞬时变化率有时非常接近零，结论是否仍然成立？

局部符号要升级为任意两点之间的整体比较，必须找到连接两点的桥梁。Lagrange 中值定理 正好把两点函数值之差写成某个内部导数乘以正的区间长度。

另一个更反直觉的问题是：导函数可能不连续，它能不能从负值直接跳到正值而完全跳过零？

探索与猜想¶

任取 \(x_1<x_2\)。若 \(f'\ge0\)，中值定理给出

因此“处处非负的局部变化率”确实能控制任意两点。若 \(|f'|\le M\)，同一个公式还给出

把导数上界变成可计算的增量上界。

但导函数的介值性质不能直接套用连续函数介值定理，因为我们并不知道 \(f'\) 连续。 需要重新构造一个函数，让目标导数值转化为它的极值条件。

概念与理论¶

定理：导数符号与单调性¶

设 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续，并在 \(I\) 的内部可导。

1. 若 \(f'(x)\ge0\) 对所有内部点成立，则 \(f\) 在 \(I\) 上单调不减；
2. 若 \(f'(x)>0\) 对所有内部点成立，则 \(f\) 在 \(I\) 上严格递增；
3. 若 \(f'(x)\le0\)，则 \(f\) 单调不增；若 \(f'(x)<0\)，则 \(f\) 严格递减。

证明。 任取 \(x_1,x_2\in I\) 且 \(x_1<x_2\)。在 \([x_1,x_2]\) 上使用 Lagrange 中值定理，存在 \(c\in(x_1,x_2)\) 使

因为 \(x_2-x_1>0\)，差值符号由 \(f'(c)\) 决定。非负给出 \(f(x_2)\ge f(x_1)\)，严格为正给出 \(f(x_2)>f(x_1)\)。非正和严格为负的情形 同理。\(\square\)

必要方向与严格性的区别¶

若 \(f\) 在区间上单调不减，并在内点 \(x\) 可导，则 \(f'(x)\ge0\)。事实上， 对充分小的 \(h>0\)，分子 \(f(x+h)-f(x)\ge0\)；对充分小的 \(h<0\)，分子 \(f(x+h)-f(x)\le0\)，除以负的 \(h\) 后差商仍非负。双侧极限因此非负。

类似地，可导的单调不增函数在内点满足 \(f'\le0\)。

但是，“严格递增”并不要求每一点都有 \(f'>0\)。函数 \(f(x)=x^3\) 严格递增，却有 \(f'(0)=0\)。因此应当分清：

• \(f'>0\) 是严格递增的充分条件；
• 可导且单调不减推出 \(f'\ge0\)，这是必要方向；
• “严格递增当且仅当 \(f'>0\)”是错误命题。

推论：常值判别¶

若 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续、内部可导，且 \(f'(x)=0\) 对所有内部点成立，则 \(f\) 在 \(I\) 上为常值。

证明有两条等价路线：由上一条定理，\(f'\ge0\) 与 \(f'\le0\) 同时成立，所以 \(f\) 既单调不减又单调不增；或者对任意 \(x_1<x_2\) 使用中值定理，直接得到

“在少数点导数为零”当然不足以推出常值；量词必须是区间内部处处成立。

推论：导数界控制增量¶

若 \(|f'(x)|\le M\) 对区间内部所有 \(x\) 成立，则任意 \(x,y\in I\) 满足

当 \(x\ne y\) 时，对两点之间的闭区间使用 Lagrange 中值定理：

\(x=y\) 时结论显然成立。这个结论把局部变化率上界转化为全区间的误差传播界。

定理：导数的 Darboux 性质¶

设 \(f\) 在开区间 \(I\) 上可导，\(a<b\) 且 \(a,b\in I\)。换言之， \(a,b\) 都是导数定义区间的内部点。若数 \(\lambda\) 严格介于 \(f'(a)\) 与 \(f'(b)\) 之间，则存在 \(c\in(a,b)\)，使

证明障碍。 不能对 \(f'\) 使用连续函数介值定理，因为定理的假设只有 \(f\) 可导， 并没有给出 \(f'\) 连续。

证明路线。 先设

并构造

于是

因为 \(f\) 在开区间 \(I\) 可导，它在 \([a,b]\) 连续，所以 \(F\) 也在 \([a,b]\) 连续并取得最小值。

由 \(F'(a)<0\)，存在充分小的 \(h>0\) 使

从而 \(F(a+h)<F(a)\)，所以 \(a\) 不可能是最小值点。

由 \(F'(b)>0\)，存在充分小的 \(h<0\) 使

因为 \(h<0\)，这给出 \(F(b+h)-F(b)<0\)，所以 \(b\) 也不可能是最小值点。

因此 \(F\) 的某个最小值点 \(c\) 位于 \((a,b)\)。由 Fermat 条件，

即 \(f'(c)=\lambda\)。

若 \(f'(a)>\lambda>f'(b)\)，对 \(-f\) 使用刚才的论证即可。\(\square\)

这个证明没有假设 \(f'\) 连续。Darboux 性质只说明导数取两个值时也会取遍中间值； 它不保证导函数在某点附近的值接近该点的导数值，因此不等于导函数连续。

例题与迁移¶

例题1：严格递增但导数可以为零¶

函数 \(f(x)=x^3\) 满足 \(f'(x)=3x^2\ge0\)，所以导数符号定理先给出单调不减。 要得到严格递增，可以直接比较任意 \(x<y\)：

第一因子为正；第二因子可写成

当 \(x<y\) 时不可能同时为零，所以也为正。因此 \(x^3<y^3\)。

然而 \(f'(0)=0\)。这个例子准确划出 \(f'>0\) 作为充分条件的边界。

例题2：导数界给出误差界¶

因为

对任意实数 \(x,y\)，增量估计给出

例如输入角度的误差不超过 \(0.01\) 弧度时，正弦值误差一定不超过 \(0.01\)。这里 得到的是严格上界，不需要知道中值定理给出的具体点 \(c\)。

例题3：不连续的导函数仍取中间值¶

令

在零点，

所以 \(f'(0)=0\)。当 \(x\ne0\) 时，

取 \(x_n=1/(2n\pi)\) 与 \(y_n=1/((2n+1)\pi)\)，有

两列都趋于零，因此 \(f'\) 在零点不连续。但 Darboux 定理保证，在这些正负值之间， 导数仍取到每个中间值；振荡不是跳跃。

即时检验与回望¶

即时检验1¶

若 \(f'(x)=(x-1)^2\) 对所有实数成立，单凭导数符号定理可以得到什么？能否直接由 “\(f'\ge0\)”四个字符断言严格递增？

即时检验2¶

已知一个导函数满足 \(f'(a)=-2\)、\(f'(b)=3\)，其中 \(a<b\)。即使不知道 \(f'\) 是否连续，能否保证某点导数等于 \(1/2\)？

回看牵引问题：任意两个时刻之间的温度差都由某个中间时刻的变化率控制，因此处处非负 导数保证整体单调不减。导函数即使不连续，也因 Darboux 性质不能从负值直接跳到正值。

习题与答案¶

习题1：导数符号表¶

已知

判断 \(f\) 在哪些区间单调不增或单调不减，并说明零点 \(x=0\) 是否改变单调方向。

习题2：常值判别¶

设 \(f\) 在区间 \(I\) 上满足本单元定理条件，且 \(f'(x)=0\) 对所有内部点成立。 用 Lagrange 中值定理直接证明 \(f(x)=f(x_0)\) 对所有 \(x,x_0\in I\) 成立。

习题3：指数函数的增量估计¶

证明对任意 \(x,y\in[0,1]\)，

习题4：反向次序的 Darboux 证明¶

若 \(f'(a)>\lambda>f'(b)\)，说明怎样不重复全部细节便得到 \(f'(c)=\lambda\)。

习题5：用数列验证导函数不连续¶

对例题3的函数，验证 \(f'(x_n)=-1\)、\(f'(y_n)=1\)，并解释为什么这足以否定 \(f'\) 在零点连续。

常见误区与后续¶

• 把非负导数和正导数混为一谈。 前者直接推出单调不减，后者直接推出严格递增。
• 把零导数点当成单调转折点。 只有导数符号真正改变时，单调方向才改变。
• 把 Darboux 性质误写成导函数连续。 它只排除跳跃，不排除剧烈振荡。
• 在 Darboux 证明中偷偷使用导函数连续。 正确证明研究 \(F(x)=f(x)-\lambda x\) 的内部极值。

下一单元把一条函数的割线—切线比较升级为两个函数的总变化—局部变化比较。为了避免 除零漏洞，Cauchy 中值定理将首先写成没有任何分式的交叉乘积形式。