第 20 章：微积分基本定理¶

第 18 章从导数规则反向寻找原函数，第 19 章则从分割与有限和独立建立 Riemann 积分。 现在可以回答两条路线何时会合：累积函数的局部变化率何时恢复被积函数，已经找到的 原函数何时能够把分割极限化成端点差。

本章共5个核心单元，8学时（理论5.25，应用2.75）。

学习路径¶

1. 变上限累积函数为什么连续？ （理论 1.25，应用 0.25）
2. 局部平均怎样恢复被积函数？ （理论 1.50，应用 0.25）
3. 原函数怎样把分割极限化为端点差？ （理论 1.25，应用 0.50）
4. 定积分的换元与分部积分怎样合法使用？ （理论 1.00，应用 1.00）
5. 定积分综合计算怎样处理端点、对称与错误诊断？ （理论 0.25，应用 0.75）

证明主线¶

本章的依赖顺序是：

第 20.1 单元先证明一个容易被低估的事实：只要被积函数 Riemann 可积，累积函数就已经 Lipschitz 连续。第 20.2 单元再增加“被积函数在考察点连续”这一局部条件，用邻近区间 上的平均值恢复该点函数值。

第 20.3 单元由此得到连续函数的原函数存在性和 Newton–Leibniz 公式，并补充“函数已经 拥有原函数”时的更强版本。第 20.4 单元从链式法则和乘积法则严格推出定积分换元与 分部积分。第 20.5 单元不重复证明公式，而是在无题型标签下训练选法、端点、对称与 错误诊断。

三个问题仍须分开¶

学习本章时必须持续区分：

1. \(f\) 是否 Riemann 可积；
2. \(f\) 是否拥有原函数；
3. 原函数是否能用当前初等函数工具写出并方便计算。

连续函数同时满足前两项，但第二项不自动给出第三项。微积分基本定理连接的是已经严格 定义的积分与原函数，不是用原函数反过来定义 Riemann 积分。

继承、输出与边界¶

第 18 章提供原函数、换元、分部积分和求导回验；第 19 章提供 Riemann 可积性、积分 估计和区间可加性。本章把这些结果连接成一个闭合的证明链。

本章输出变上限函数、基本定理两部分、Newton–Leibniz 公式以及定积分计算规则。 第 21 章才从分割与局部贡献建立几何和物理模型。

章末自测¶

完成本章后，你应能回答：

1. 为什么不连续但可积的函数仍能产生连续的累积函数？
2. 局部平均恢复 \(f(x_0)\) 为什么只需 \(f\) 在 \(x_0\) 连续？
3. 被积函数在间断点处，累积函数一定不可导吗？
4. 连续版和“已有原函数”版 Newton–Leibniz 的假设有何不同？
5. 定积分换元公式为什么不要求换元函数单调？
6. 什么时候反解换元变量反而需要一一性与分支检查？
7. 定积分分部积分的边界项怎样完整处理？
8. 对称性、符号与积分估计怎样用于回验计算结果？

能够写清每个结论的条件、证明依赖和失败边界，才算真正理解积分与微分为何互相连接。