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数学分析：理论、算法与模型
第 3 章：上界、下界与确界原理
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第一部：实数、函数与分析语言
第一部：实数、函数与分析语言
第 1 章：函数、集合与数学陈述
第 1 章：函数、集合与数学陈述
本章导学
1.1 集合怎样组织数学对象？
1.2 量词怎样改变一句话？
1.3 什么算作一个有效证明？
1.4 函数为何不只是“公式”？
第 2 章：实数系与完备性公理
第 2 章：实数系与完备性公理
本章导学
2.1 有理数为什么仍然不够？
2.2 怎样用切割构造一个实数？
2.3 构造后怎样计算与比较？
第 3 章：上界、下界与确界原理
第 3 章：上界、下界与确界原理
本章导学
3.1 有上界为什么还不够？
3.2 最小上界怎样保证存在？
3.3 确界原理能推出什么？
第 4 章：递推过程与无限逼近
第 4 章：递推过程与无限逼近
本章导学
4.1 递推会不会真的“靠近”目标？
4.2 区间怎样把目标逐步夹住？
4.3 “越来越近”怎样说得严格？
4.4 无限逼近何时会失败？
第二部：数列极限与无限过程
第二部：数列极限与无限过程
第 5 章：数列极限与量词结构
第 5 章：数列极限与量词结构
本章导学
5.1 数列怎样记录无限过程？
5.2 “最终任意接近”怎样写成定义？
5.3 不收敛与趋于无穷怎样区分？
5.4 迭代数据何时值得相信？
5.5 极限证明怎样从目标误差反推起点？
第 6 章：极限运算与序关系
第 6 章：极限运算与序关系
本章导学
6.1 极限怎样通过代数运算传递？
6.2 序关系怎样给出极限估计？
6.3 误差如何穿过一次迭代？
6.4 倒数与商法则为何必须远离零？
第 7 章：单调性、完备性与收敛准则
第 7 章：单调性、完备性与收敛准则
本章导学
7.1 单调数列为什么会有极限？
7.2 递推的界与单调性怎样建立？
7.3 区间套怎样保证唯一目标？
7.4 完备性怎样成为收敛准则？
第 8 章：子列、Cauchy 准则与上/下极限
第 8 章：子列、Cauchy 准则与上/下极限
本章导学
8.1 子列揭示了原数列的什么行为？
8.2 有界数列为何总能抽出收敛子列？
8.3 Cauchy 条件怎样不预知极限而判断收敛？
8.4 严格压缩怎样保证迭代找到唯一不动点？
8.5 上/下极限怎样总结所有尾部行为？
8.6 不动点计算需要哪些可核验证书？
8.7 有限迭代轨迹能说明什么、不能说明什么？
8.8 上/下极限怎样由子列真正实现？
第三部：函数极限、连续性与方程
第三部：函数极限、连续性与方程
第 9 章：函数极限与局部行为
第 9 章：函数极限与局部行为
本章导学
9.1 函数在一点附近意味着什么？
9.2 “任意接近”怎样定义函数极限？
9.3 局部估计怎样传递极限？
9.4 用点列靠近能否判别函数极限？
9.5 极限证明怎样从目标误差反推局部范围？
9.6 左右极限怎样共同决定双侧极限？
9.7 函数怎样在有限点附近趋于无穷？
9.8 自变量趋于无穷时怎样定义函数极限？
第 10 章：连续函数与连续运算
第 10 章：连续函数与连续运算
本章导学
10.1 连续性怎样把极限与函数值接起来？
10.2 连续性怎样经过运算和复合传递？
10.3 端点连续与连续延拓怎样统一处理？
10.4 函数会以哪些方式失去连续性？
10.5 常见初等函数的连续性从哪里来？
第 11 章：闭区间上的整体性质
第 11 章：闭区间上的整体性质
本章导学
11.1 为什么闭区间中的数列总有收敛子列？
11.2 连续函数为何一定有界并取得最值？
11.3 局部连续何时升级为全局一致控制？
第 12 章：零点、不动点与迭代求解
第 12 章：零点、不动点与迭代求解
本章导学
12.1 连续函数怎样保证取遍中间值？
12.2 有固定点是否意味着简单迭代会收敛？
12.3 怎样把有根证明变成误差可证的算法？
12.4 不同存在与计算证书各自保证什么？
第四部：微分与局部线性化
第四部：微分与局部线性化
第 13 章：导数、微分与局部线性模型
第 13 章：导数、微分与局部线性模型
本章导学
13.1 平均变化率怎样逼近瞬时变化率？
13.2 差商极限何时存在，何时失败？
13.3 可导为什么等价于一阶局部线性化？
13.4 局部线性模型怎样预测增量、误差与敏感性？
第 14 章：求导法则、反函数与高阶导数
第 14 章：求导法则、反函数与高阶导数
本章导学
14.1 局部线性模型怎样通过和、积、商传递？
14.2 复合函数的局部误差怎样层层传递？
14.3 反函数的变化率为何是原导数的倒数？
14.4 隐式关系与高阶导数怎样记录复杂变化？
14.5 怎样为原函数计算准备可靠的求导能力？
第 15 章：微分中值定理
第 15 章：微分中值定理
本章导学
15.1 两个端点的信息怎样迫使中间出现特殊切线？
15.2 导数符号能推出哪些整体性质？
15.3 两个函数的变化率怎样进行严格比较？
15.4 L’Hôpital 法则何时能判定未定式极限？
第 16 章：Taylor 公式与余项
第 16 章：Taylor 公式与余项
本章导学
16.1 高阶局部信息怎样形成 Peano 展开？
16.2 Lagrange 余项怎样给出可计算误差界？
16.3 Cauchy 余项揭示了怎样的证明结构？
16.4 怎样把 Taylor 多项式变成可信的近似工具？
第 17 章：凸性、优化、函数形态与 Newton 方法
第 17 章：凸性、优化、函数形态与 Newton 方法
本章导学
17.1 导数怎样还原函数的增减、极值与弯曲形态？
17.2 凸性为何能把局部极小升级为整体极小？
17.3 Newton 迭代为什么可能快速收敛，也可能失败？
17.4 怎样实现具有保护机制和停止证书的 Newton 算法？
第五部：积分、累积与数值求积
第五部：积分、累积与数值求积
第 18 章：原函数与积分方法
第 18 章：原函数与积分方法
本章导学
18.1 导数能否反向恢复原函数？
18.2 复合函数的导数怎样反向产生换元法？
18.3 乘积法则怎样反向产生分部积分法？
18.4 有理函数怎样通过代数分解获得原函数？
18.5 怎样选择积分方法并用求导可靠回验？
第 19 章：Riemann 积分与可积性
第 19 章：Riemann 积分与可积性
本章导学
19.1 怎样用分割和上下和夹住未知总量？
19.2 Riemann 和何时拥有与取样无关的极限？
19.3 哪些函数可积，证明障碍在哪里？
19.4 可积函数的代数、序与区间结构怎样传递？
第 20 章：微积分基本定理
第 20 章：微积分基本定理
本章导学
20.1 变上限累积函数为什么连续？
20.2 局部平均怎样恢复被积函数？
20.3 原函数怎样把分割极限化为端点差？
20.4 定积分的换元与分部积分怎样合法使用？
20.5 定积分综合计算怎样处理端点、对称与错误诊断？
第 21 章：积分的几何与物理模型
第 21 章：积分的几何与物理模型
本章导学
21.1 面积怎样从局部条带与有向积分产生？
21.2 截面怎样重建立体体积？
21.3 折线长度怎样逼近光滑图像的弧长？
21.4 功、质量与平均值怎样选择局部贡献？
21.5 几何与物理综合建模怎样选变量并回验？
第 22 章：反常积分与数值求积
第 22 章：反常积分与数值求积
本章导学
22.1 反常积分怎样由逐端点极限定义？
22.2 正函数怎样比较收敛并控制尾部？
22.3 绝对、条件与振荡收敛怎样区分？
22.4 中点与梯形公式怎样产生可证明误差界？
22.5 Simpson 方法怎样给出预算与误差证书？
22.6 反常积分怎样完成可靠数值计算？
第六部：无穷级数与函数逼近
第六部：无穷级数与函数逼近
第 23 章：数项级数的收敛与正项判别
第 23 章：数项级数的收敛与正项判别
本章导学
23.1 无限求和怎样由部分和定义？
23.2 Cauchy 尾部判据怎样控制无限求和？
23.3 正项级数怎样通过比较判断收敛？
23.4 局部增长率怎样产生比值与根值判别？
23.5 积分与凝聚怎样提供判别和余项证书？
第 24 章：一般项级数、重排与乘积
第 24 章：一般项级数、重排与乘积
本章导学
24.1 绝对收敛为什么能够控制符号变化？
24.2 交错与振荡级数怎样利用抵消？
24.3 改变求和次序为什么可能改变结果？
24.4 两个无穷和什么时候可以相乘？
24.5 怎样选择判别法并给出收敛证书？
第 25 章：函数列、函数项级数与一致收敛
第 25 章：函数列、函数项级数与一致收敛
本章导学
25.1 逐点收敛为什么不足以控制整体行为？
25.2 怎样用统一尾部控制刻画一致收敛？
25.3 函数项级数怎样获得一致收敛判别？
25.4 极限什么时候可以穿过连续与积分？
25.5 微分为什么需要比积分更强的条件？
第 26 章：幂级数与解析表示
第 26 章：幂级数与解析表示
本章导学
26.1 系数怎样决定收敛半径？
26.2 幂级数为什么在收敛区间内部表现稳定？
26.3 为什么幂级数可以逐项积分与微分？
26.4 Taylor 级数什么时候真的等于原函数？
26.5 常用展开怎样形成可靠计算工具？
第 27 章：多项式逼近与误差控制
第 27 章：多项式逼近与误差控制
本章导学
27.1 函数逼近问题应怎样衡量误差？
27.2 Bernstein 多项式怎样逼近连续函数？
27.3 连续性模怎样给出显式误差界？
27.4 怎样可靠构造并评价逼近多项式？
第七部：Euclid 空间、多元微分与优化
第七部：Euclid 空间、多元微分与优化
第 28 章：Euclid 空间、极限与连续
第 28 章：Euclid 空间、极限与连续
本章导学
28.1 向量、内积、范数和距离怎样描述多维几何？
28.2 邻域、开集、闭集、内部与边界怎样组织局部和整体？
28.3 向量序列怎样收敛，有限维空间为什么完备？
28.4 紧致性为什么等价于闭且有界？
28.5 多元极限、连续与连通性怎样给出存在性结论？
第 29 章：多元微分与导数映射
第 29 章：多元微分与导数映射
本章导学
29.1 偏导数和方向导数能否保证函数可微？
29.2 Fréchet 微分怎样刻画最佳线性近似？
29.3 连续偏导为什么足以推出可微？
29.4 导数映射怎样满足代数规则和链式法则？
29.5 Jacobian、梯度与条件数怎样描述敏感性？
29.6 怎样计算并可靠核验多元线性化？
第 30 章：高阶微分与多元 Taylor 公式
第 30 章：高阶微分与多元 Taylor 公式
本章导学
30.1 二阶微分和 Hessian 为什么是双线性对象？
30.2 高阶微分和多重指标怎样组织混合偏导？
30.3 多元 Taylor 公式怎样给出可证明的余项？
30.4 二次模型怎样支持误差界和敏感性分析？
第 31 章：反函数、隐函数与局部求解
第 31 章：反函数、隐函数与局部求解
本章导学
31.1 Jacobian 可逆怎样产生局部反函数？
31.2 隐式方程什么时候能局部解出变量？
31.3 局部参数化怎样给出灵敏度并区分分支？
31.4 Newton 法怎样可靠求解非线性方程组？
第 32 章：多元极值与约束优化
第 32 章：多元极值与约束优化
本章导学
32.1 多元极值什么时候存在，模型定义域怎样影响答案？
32.2 无约束极值为什么满足一阶必要条件？
32.3 Hessian 怎样给出二阶必要与充分条件？
32.4 Lagrange 乘子怎样处理正则等式约束？
32.5 多个约束、几何解释和异常点怎样处理？
32.6 梯度法、Newton 法和约束候选怎样可靠核验？
第八部：重积分与空间测量
第八部：重积分与空间测量
第 33 章：重积分的定义与可积性
第 33 章：重积分的定义与可积性
本章导学
33.1 小矩形上的局部贡献怎样累积成二重积分？
33.2 连续函数为什么在闭矩形上可积？
33.3 线性、序关系与区域可加性怎样成立？
33.4 怎样在常用有界区域上定义重积分？
第 34 章：累次积分与计算
第 34 章：累次积分与计算
本章导学
34.1 矩形上的二重积分为什么可以逐次计算？
34.2 x-型与 y-型区域怎样写出积分限？
34.3 改变积分次序怎样化简区域与被积函数？
34.4 三重积分怎样按截面或投影逐层计算？
34.5 二维张量积中点法能保证什么、不能保证什么？
第 35 章：重积分的变量代换
第 35 章：重积分的变量代换
本章导学
35.1 Jacobian 行列式为什么描述局部面积与体积伸缩？
35.2 重积分换元公式需要哪些条件？
35.3 极坐标怎样处理圆形与径向对称区域？
35.4 柱面、球面坐标怎样处理三维区域？
第 36 章：反常重积分与质量、概率模型
第 36 章：反常重积分与质量、概率模型
本章导学
36.1 无界区域上的重积分怎样由极限定义？
36.2 被积函数有奇点时怎样判断收敛？
36.3 密度怎样产生质量、质心与转动惯量？
36.4 联合密度怎样产生边缘密度、期望与协方差？
36.5 怎样为空间累积模型选择区域、坐标与核验方法？
选读附录：从 Jordan 区域到测度观点
第九部：曲线、曲面与向量分析
第九部：曲线、曲面与向量分析
第 37 章：参数曲线与曲线积分
第 37 章：参数曲线与曲线积分
本章导学
37.1 正则参数曲线怎样描述运动、方向与切向量？
37.2 弧长与第一类曲线积分怎样由参数化定义？
37.3 第二类曲线积分怎样表示功与环流？
37.4 重新参数化、反向与保守场怎样改变积分？
第 38 章：参数曲面与曲面积分
第 38 章：参数曲面与曲面积分
本章导学
38.1 正则参数曲面怎样产生切平面、法向量与取向？
38.2 曲面面积元为什么由叉积的模给出？
38.3 第一类曲面积分怎样累积曲面上的标量分布？
38.4 通量积分怎样依赖参数化与曲面取向？
第 39 章：Green 公式与平面场
第 39 章：Green 公式与平面场
本章导学
39.1 平面场的散度与旋度怎样描述局部变化？
39.2 Green 公式怎样从简单区域上的微积分基本定理得到？
39.3 分片区域、多连通区域与边界方向怎样处理？
39.4 Green 公式怎样控制面积、环流、通量与路径无关？
第 40 章：Gauss 公式与通量
第 40 章：Gauss 公式与通量
本章导学
40.1 三维散度为什么表示局部源汇密度？
40.2 Gauss 公式为什么先在长方体上成立？
40.3 规则区域的分片与内部通量为什么会抵消？
40.4 Gauss 公式怎样分析流量、电通量与奇点？
第 41 章：Stokes 公式与三大公式的统一
第 41 章：Stokes 公式与三大公式的统一
本章导学
41.1 三维旋度为什么表示局部环流密度？
41.2 曲面取向怎样诱导边界曲线的正方向？
41.3 Stokes 公式怎样在单个参数曲面片上证明？
41.4 分片曲面上的内部边界为什么成对抵消？
41.5 怎样选择并核验 Green、Gauss 与 Stokes 公式？
选读附录：从向量分析到微分形式
第十部：含参变量积分
第十部：含参变量积分
第 42 章：正常含参变量积分
第 42 章：正常含参变量积分
本章导学
42.1 含参积分怎样定义函数，参数与积分变量怎样分工？
42.2 被积函数联合连续时，积分为什么连续依赖参数？
42.3 一致收敛为什么允许极限进入积分号？
42.4 哪些逐点收敛反例说明一致控制不可省略？
42.5 怎样为连续性与极限交换建立条件检查表？
第 43 章：积分号下运算
第 43 章：积分号下运算
本章导学
43.1 什么条件允许对含参积分求导？
43.2 差商与偏导的一致控制怎样完成 Leibniz 公式证明？
43.3 积分端点随参数变化时，边界项从哪里产生？
43.4 对参数再积分时，怎样通过经典 Fubini 交换次序？
43.5 可固定化的移动区域怎样化为固定区域问题？
第 44 章：含参反常积分的一致收敛
第 44 章：含参反常积分的一致收敛
本章导学
44.1 含参反常积分的一致收敛应怎样定义？
44.2 一致 Cauchy 判据怎样把尾部转化为可检查条件？
44.3 Weierstrass、Dirichlet 与 Abel 型判据怎样控制参数族？
44.4 连续性、极限与参数积分何时可同反常积分交换？
44.5 积分号下求导何时成立，反例揭示哪些条件缺口？
第 45 章：Gamma、Beta 函数与参数敏感性
第 45 章：Gamma、Beta 函数与参数敏感性
本章导学
45.1 Gamma 积分在哪些参数上收敛，递推公式怎样得到？
45.2 Beta 积分的端点奇性怎样控制？
45.3 Beta–Gamma 关系怎样由重积分与换元推出？
45.4 参数求导怎样产生含对数因子的积分与敏感性公式？
45.5 怎样对 Gamma、Beta 积分作带状态的可靠近似？
第十一部：测度与 Lebesgue 积分
第十一部：测度与 Lebesgue 积分
第 46 章：从长度问题到测度
第 46 章：从长度问题到测度
本章导学
46.1 区间长度应满足哪些基本性质？
46.2 可数区间覆盖怎样定义 Lebesgue 外测度？
46.3 外测度为何单调并满足可数次可加性？
46.4 区间的外测度为何恰好等于区间长度？
46.5 可数集为何是零测集，Jordan 理论的边界在哪里？
第 47 章：σ-代数与测度
第 47 章：σ-代数与测度
本章导学
47.1 为什么集合运算必须对可数过程封闭？
47.2 Carathéodory 判据怎样定义可测集合？
47.3 可测集合为何构成 σ-代数？
47.4 外测度在可测集上为何成为可数可加的测度？
47.5 Borel 集、零测集及其子集怎样进入 Lebesgue 可测世界？
第 48 章：可测函数与收敛方式
第 48 章：可测函数与收敛方式
本章导学
48.1 可测函数为何可由水平集的可测性刻画？
48.2 运算、上确界与逐点极限怎样保持可测性？
48.3 非负可测函数怎样由递增简单函数逼近？
48.4 逐点、一致与几乎处处收敛怎样区分？
48.5 依测度收敛与其他收敛方式有什么关系？
第 49 章：Lebesgue 积分
第 49 章：Lebesgue 积分
本章导学
49.1 简单函数的积分怎样由水平集测度定义？
49.2 非负可测函数的积分怎样由下逼近定义？
49.3 积分的单调性、齐次性与可加性怎样证明？
49.4 正部、负部怎样定义一般函数的积分？
49.5 绝对可积、零测集修改与积分估计怎样统一？
第 50 章：收敛定理与 Riemann 理论比较
第 50 章：收敛定理与 Riemann 理论比较
本章导学
50.1 单调收敛定理怎样闭合递增逼近？
50.2 Fatou 引理怎样给出下极限不等式？
50.3 控制收敛定理为何需要可积控制函数？
50.4 Riemann 可积函数与 Lebesgue 积分怎样兼容？
50.5 序章失败序列怎样被新理论完整解释？
第十二部：Fourier 级数初步
第十二部：Fourier 级数初步
第 51 章：正交函数系与最佳逼近
第 51 章：正交函数系与最佳逼近
本章导学
51.1 周期函数与三角函数系怎样构成正交族？
51.2 Fourier 系数为什么来自正交投影？
51.3 三角多项式怎样给出最佳平方逼近？
51.4 复指数形式怎样统一正弦与余弦形式？
51.5 有限维投影计算怎样验证最佳逼近？
第 52 章：Fourier 系数与逐点收敛
第 52 章：Fourier 系数与逐点收敛
本章导学
52.1 Fourier 系数有哪些平移、伸缩与对称性质？
52.2 奇偶性和分段积分怎样简化系数计算？
52.3 半区间正弦展开与余弦展开怎样选择？
52.4 Fourier 部分和怎样写成 Dirichlet 核卷积？
52.5 Dirichlet 判别条件怎样保证逐点收敛？
52.6 连续点与跳跃点的展开值应怎样判断？
第 53 章：能量、Parseval 与均方收敛
第 53 章：能量、Parseval 与均方收敛
本章导学
53.1 Bessel 不等式怎样限制 Fourier 系数的能量？
53.2 均方误差为何等于总能量减去投影能量？
53.3 Parseval 等式在什么条件下成立？
53.4 Parseval 等式怎样用于经典数项级数求和？
53.5 均方收敛与逐点、一致收敛有什么区别？
第 54 章：周期模型、逼近误差与 Gibbs 现象
第 54 章：周期模型、逼近误差与 Gibbs 现象
本章导学
54.1 有限 Fourier 部分和怎样重建周期信号？
54.2 Gibbs 现象为何不会因增加项数而消失？
54.3 Fejér 平均为何比普通部分和更稳定？
54.4 截断阶数、误差指标与采样分辨率怎样选择？
54.5 一个周期模型怎样完成“建模—展开—误差—解释”闭环？
附录
附录
Python 知识桥：函数、循环与异常
第 3 章：上界、下界与确界原理
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本章把“存在边界”提升为“存在最小上界”，并导出阿基米德性质、稠密性与平方根存在等后续工具。
有上界为什么还不够？
最小上界怎样保证存在？
确界原理能推出什么？