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数学分析：理论、算法与模型
第 3 章：上界、下界与确界原理
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第一部：实数、函数与分析语言
第一部：实数、函数与分析语言
第 1 章：函数、集合与数学陈述
第 1 章：函数、集合与数学陈述
本章导学
1.1 集合怎样组织数学对象？
1.2 量词怎样改变一句话？
1.3 什么算作一个有效证明？
1.4 函数为何不只是“公式”？
第 2 章：实数系与完备性公理
第 2 章：实数系与完备性公理
本章导学
2.1 有理数为什么仍然不够？
2.2 怎样用切割构造一个实数？
2.3 构造后怎样计算与比较？
第 3 章：上界、下界与确界原理
第 3 章：上界、下界与确界原理
本章导学
3.1 有上界为什么还不够？
3.2 最小上界怎样保证存在？
3.3 确界原理能推出什么？
第 4 章：递推过程与无限逼近
第 4 章：递推过程与无限逼近
本章导学
4.1 递推会不会真的“靠近”目标？
4.2 区间怎样把目标逐步夹住？
4.3 “越来越近”怎样说得严格？
4.4 无限逼近何时会失败？
第二部：数列极限与无限过程
第二部：数列极限与无限过程
第 5 章：数列极限与量词结构
第 5 章：数列极限与量词结构
本章导学
5.1 数列怎样记录无限过程？
5.2 “最终任意接近”怎样写成定义？
5.3 不收敛与趋于无穷怎样区分？
5.4 迭代数据何时值得相信？
5.5 极限证明怎样从目标误差反推起点？
第 6 章：极限运算与序关系
第 6 章：极限运算与序关系
本章导学
6.1 极限怎样通过代数运算传递？
6.2 序关系怎样给出极限估计？
6.3 误差如何穿过一次迭代？
6.4 倒数与商法则为何必须远离零？
第 7 章：单调性、完备性与收敛准则
第 7 章：单调性、完备性与收敛准则
本章导学
7.1 单调数列为什么会有极限？
7.2 递推的界与单调性怎样建立？
7.3 区间套怎样保证唯一目标？
7.4 完备性怎样成为收敛准则？
第 8 章：子列、Cauchy 准则与上/下极限
第 8 章：子列、Cauchy 准则与上/下极限
本章导学
8.1 子列揭示了原数列的什么行为？
8.2 有界数列为何总能抽出收敛子列？
8.3 Cauchy 条件怎样不预知极限而判断收敛？
8.4 严格压缩怎样保证迭代找到唯一根？
8.5 上/下极限怎样总结所有尾部行为？
8.6 不动点计算需要哪些可核验证书？
8.7 有限迭代轨迹能说明什么、不能说明什么？
8.8 上/下极限怎样由子列真正实现？
第三部：函数极限、连续性与方程
第三部：函数极限、连续性与方程
第 9 章：函数极限与局部行为
第 9 章：函数极限与局部行为
本章导学
9.1 函数在一点附近意味着什么？
9.2 “任意接近”怎样定义函数极限？
9.3 局部估计怎样传递极限？
9.4 用点列靠近能否判别函数极限？
9.5 极限证明怎样从目标误差反推局部范围？
9.6 左右极限怎样共同决定双侧极限？
9.7 函数怎样在有限点附近趋于无穷？
9.8 自变量趋于无穷时怎样定义函数极限？
第 10 章：连续函数与连续运算
第 10 章：连续函数与连续运算
本章导学
10.1 连续性怎样把极限与函数值接起来？
10.2 连续性怎样经过运算和复合传递？
10.3 端点连续与连续延拓怎样统一处理？
10.4 函数会以哪些方式失去连续性？
10.5 常见初等函数的连续性从哪里来？
第 11 章：闭区间上的整体性质
第 11 章：闭区间上的整体性质
本章导学
11.1 为什么闭区间中的数列总有收敛子列？
11.2 连续函数为何一定有界并取得最值？
11.3 局部连续何时升级为全局一致控制？
第 12 章：零点、不动点与迭代求解
第 12 章：零点、不动点与迭代求解
本章导学
12.1 连续函数怎样保证取遍中间值？
12.2 有固定点是否意味着简单迭代会收敛？
12.3 怎样把有根证明变成误差可证的算法？
12.4 不同存在与计算证书各自保证什么？
附录
附录
Python 知识桥：函数、循环与异常
第 3 章：上界、下界与确界原理
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本章把“存在边界”提升为“存在最小上界”，并导出阿基米德性质、稠密性与平方根存在等后续工具。
有上界为什么还不够？
最小上界怎样保证存在？
确界原理能推出什么？