依测度收敛与其他收敛方式有什么关系？¶

先备知识¶

熟悉测度从下/上连续、几乎处处收敛和水平集。

学习目标¶

掌握依测度收敛的定义、有限测度条件与关键反例。

牵引问题¶

若大误差发生的集合越来越小，是否可把函数列视为接近？

探索与猜想¶

不要求每点最终稳定，只要求每个固定误差阈值的坏集测度趋零。

概念与理论¶

障碍¶

异常点可以移动，逐点语言看不出坏集总大小缩小。

证明路线¶

用坏集测度定义，再比较一致、几乎处处和依测度。

逐步证明¶

在可测集 (E) 上，若对每个 \(\varepsilon>0\)，

就称 (f_n) 依测度收敛到 (f)。若 (m(E)<\infty)，一致收敛显然推出依测度收敛。 若 (f_n\to f) 几乎处处，令 \(A_N=\bigcup_{n\ge N}\{|f_n-f|>\varepsilon\}\)。则 (A_N\downarrow A)，且 (A) 包含在零测异常集内。有限测度保证从上连续，故 (m(A_N)\downarrow0)，而第 (n) 个坏集 包含于 (A_n)，所以依测度收敛。

逆命题失败。把 \([0,1)\) 依次按二进区间排列，定义打字机序列为这些区间的指示函数： 支撑长度趋零，所以依测度趋于 0；但每个点在无穷多个层级中被击中，也在无穷多个项中为 0， 故没有逐点极限。

假设用在何处¶

有限测度用于从上连续；打字机序列的区间长度给坏集测度。

失败边界¶

在无限测度空间，几乎处处收敛未必依测度收敛，例如 \(\mathbf1_{[n,n+1]}\) 于 \(\mathbb R\)。

例题与迁移¶

例 1：移动单位区间¶

\(\mathbf1_{[n,n+1]}\to0\) 逐点，但每个坏集测度恒为 1，不依测度收敛。

例 2：缩小尖峰¶

\(n\mathbf1_{(0,1/n)}\) 依测度趋零，因为固定 \(\varepsilon\) 的坏集测度至多 (1/n)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

依测度定义量化什么？

即时检验 2¶

打字机序列为何不逐点收敛？

常见误区与后续¶

• 依测度收敛不保证整列逐点或几乎处处收敛。
• 有限测度条件不能从 a.e. 推出依测度的证明中删除。

习题与答案¶

习题 1¶

写出依测度收敛定义。

习题 2¶

一致收敛在有限测度集上推出依测度吗？

习题 3¶

a.e. 推依测度需要什么？

习题 4¶

依测度推出逐点吗？

习题 5¶

移动单位区间逐点趋零吗？

习题 6¶

它依测度趋零吗？

习题 7¶

缩小尖峰依测度趋零吗？

习题 8¶

依测度极限是否允许移动异常点？

习题 9¶

证明中 (A_N) 单调方向是什么？

习题 10¶

本章是否讨论积分收敛？