为什么闭区间中的数列总有收敛子列？¶
先备知识¶
第二部已经证明 Bolzano–Weierstrass 定理：每个有界实数数列都有收敛子列。本单元 直接调用该结论，不重复区间套证明。你还需要会用极限的保序性处理闭区间端点。
学习目标¶
- 定义本书在实数范围内使用的序列紧致性；
- 用极限保序性证明闭区间保留其中收敛数列的极限；
- 建立闭区间的序列紧致性；
- 用反例区分端点缺失、无界和序列紧致。
牵引问题¶
闭区间中可以放入一条无限而杂乱的点列。我们未必能控制整条数列，却能否总从中 抽出一条趋向区间内某点的子列？“有界”负责提供收敛子列，“闭”又负责什么？
探索与猜想¶
在 \((0,1)\) 中，数列 \(x_n=1/(n+1)\) 收敛，但极限 \(0\) 跑出了集合；在 \([0,\infty)\) 中，数列 \(x_n=n\) 根本没有收敛子列。闭区间同时排除了“极限跑出 边界”和“数列逃向无穷”两种失败。
概念与理论¶
定义：序列紧致性¶
集合 \(K\subseteq\mathbb R\) 称为序列紧致的，若对每个满足 \(x_n\in K\) 的数列 \((x_n)\)，都存在严格递增指标
和某个 \(x\in K\)，使
定义同时要求“能抽出收敛子列”和“子列极限仍在集合内”。只满足前半句并不够。
定理：闭区间序列紧致¶
每个闭区间 \([a,b]\) 都是序列紧致的。
证明。 任取数列 \(x_n\in[a,b]\)。因为
该数列有界。由第二部 Bolzano–Weierstrass 定理，存在子列 \(x_{n_k}\to x\in\mathbb R\)。对子列仍有
由极限的保序性，\(a\le x\le b\)，所以 \(x\in[a,b]\)。 因此每条闭区间点列都有收敛到区间内一点的子列。\(\square\)
证明中的两项假设分工清楚：
- 有界性产生实数中的收敛子列；
- 两个端点都包含在区间中，配合极限保序性把该子列的极限留在区间内。
一般集合的开、闭语言及“闭且有界”与序列紧致的关系留到第 28 章。本章后续只需要 上面已经证明的闭区间版本。
例题与迁移¶
例题 1：开区间为什么失败¶
证明 \((0,1)\) 不是序列紧致的。
证明。 取 \(x_n=1/(n+1)\in(0,1)\)。对每个 \(n\in\mathbb N\)，都有 \(0<x_n<1\)。任意子列 \(x_{n_k}\) 仍趋于 \(0\)，而 \(0\notin(0,1)\)。因此不存在收敛到集合内一点的 子列，序列紧致性失败。失败原因是端点 \(0\) 没有包含在集合中。\(\square\)
例题 2：无界区间仍会失败¶
证明 \([0,\infty)\) 不是序列紧致的。
证明。 取 \(x_n=n\)。任意子列满足 \(x_{n_k}=n_k\ge k\)，所以仍趋于 \(+\infty\)，不可能在实数中收敛。失败原因是集合无界。\(\square\)
即时检验与回望¶
即时检验 1：收敛子列为什么必须落回集合？¶
答案
若只要求在实数中收敛，那么任何有界集合中的点列都能由 Bolzano–Weierstrass 抽出收敛子列，即使极限落在缺失边界上。序列紧致性要求 极限属于原集合，才能把集合内的无限过程封闭起来。
即时检验 2：证明闭区间序列紧致时哪里使用端点条件？¶
答案
Bolzano–Weierstrass 只给出某个实数极限 \(x\)。对子列的不等式 \(a\le x_{n_k}\le b\) 使用极限保序性，才得到 \(a\le x\le b\)，即 \(x\in[a,b]\)。
习题与答案¶
习题 1：有限集¶
证明每个有限实数集都是序列紧致的。
答案
设 \(K=\{a_1,\ldots,a_m\}\)。任取 \(x_n\in K\)。至少有一个值 \(a_j\) 出现无穷多次，否则每个值只出现有限次，整条数列只能有有限项。抽取所有等于 \(a_j\) 的项，得到常值子列，收敛到 \(a_j\in K\)。
习题 2：半开区间¶
证明 \([0,1)\) 不是序列紧致的。
答案
取 \(x_n=1-1/n\in[0,1)\)（\(n\ge1\)）。整列及其任意子列都趋于 \(1\)，但 \(1\notin[0,1)\)。因此没有子列收敛到集合内一点。
习题 3：收敛数列的值集¶
若 \(x_n\to x\)，证明集合 \(K=\{x\}\cup\{x_n:n\in\mathbb N\}\) 序列紧致。
答案
任取 \(y_m\in K\)。若某个点在 \(y_m\) 中出现无穷多次，可抽出常值子列。 否则，除去有限重复后可抽出一列互异的 \(x_{n_m}\)，其指标必趋于无穷，故 \(x_{n_m}\to x\in K\)。两种情形都得到极限属于 \(K\) 的收敛子列。
习题 4：连续像的预告¶
设 \(K\) 序列紧致，\(f:K\to\mathbb R\) 连续。证明任意数列 \(y_n\in f(K)\) 有收敛子列，且极限仍在 \(f(K)\)。
答案
对每个 \(n\) 选 \(x_n\in K\) 使 \(y_n=f(x_n)\)。由序列紧致性，存在 \(x_{n_k}\to x\in K\)。连续性给出 \(y_{n_k}=f(x_{n_k})\to f(x)\)，而 \(f(x)\in f(K)\)。
习题 5：识别缺失条件¶
判断：“每条 \(K\) 中的数列都有实数收敛子列，所以 \(K\) 序列紧致。”哪里不足？
答案
还缺少子列极限属于 \(K\) 的要求。例如 \(K=(0,1)\) 中每条数列都有界，因而 都有实数收敛子列，但 \(1/(n+1)\) 的所有子列极限都是缺失端点 \(0\)，所以 \(K\) 不序列紧致。
选读前瞻：第七部的开覆盖语言¶
以后学习 Euclid 空间的拓扑语言时，会用开覆盖的有限化性质描述紧致性，并证明它与 本单元的序列刻画在 Euclid 空间中等价。本章的核心定理全部沿序列路线推进，不使用 该语言。
常见误区与后续¶
- 有界只保证存在实数收敛子列，不保证极限属于原集合。
- 闭区间包含两个端点，配合极限保序性保证子列极限仍落在区间内。
- Bolzano–Weierstrass 已在第二部证明，本单元只负责把它与闭区间的端点保留拼接。
- 子列指标必须严格递增。
下一单元把序列紧致性传给连续函数值，分别证明有界性和最值确实能够取到。