向量序列怎样收敛，有限维空间为什么完备？¶
先备知识¶
熟悉实数数列的 \(\varepsilon\)-定义、Cauchy 准则和有限维范数比较。
学习目标¶
- 定义向量序列收敛；
- 在范数极限和逐坐标收敛之间转换；
- 定义向量 Cauchy 序列；
- 从实数完备性证明 \(\mathbb R^n\) 完备。
牵引问题¶
若每个坐标都稳定，整个向量是否必然稳定？若坐标数无限，这个直觉还可靠吗？
探索与猜想¶
写 \(x_k=(x_{k,1},\ldots,x_{k,n})\)。不等式
提示有限个坐标可以统一控制。
概念与理论¶
坐标收敛等价定理¶
\(x_k\to x\)（即 \(\|x_k-x\|_2\to0\)）当且仅当对每个 \(i=1,\ldots,n\)，有 \(x_{k,i}\to x_i\)。
证明。 范数收敛由左侧不等式推出逐坐标收敛。反向中，对给定 \(\varepsilon>0\)，每个坐标最终小于 \(\varepsilon/\sqrt n\)。因为只有有限个坐标， 可取这些起始指标的最大值，此后所有坐标同时满足估计，从而范数小于 \(\varepsilon\)。
向量序列称为 Cauchy，若对每个 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\)，使 \(k,m\ge N\) 时 \(\|x_k-x_m\|_2<\varepsilon\)。同样，它等价于每个坐标序列都是 Cauchy。
Euclid 空间的完备性¶
每个 \(\mathbb R^n\) 中的 Cauchy 序列都收敛于 \(\mathbb R^n\) 中一点。
证明。 若 \((x_k)\) 是向量 Cauchy 序列，则每个坐标 \((x_{k,i})\) 是实数 Cauchy 序列。实数完备性给出极限 \(x_i\)。令 \(x=(x_1,\ldots,x_n)\)，逐坐标收敛等价定理 推出 \(x_k\to x\)。
证明中“有限个坐标”用于统一起始指标。无限坐标序列空间需要另行选择范数并证明 完备，不能由这里自动得到。
例题与迁移¶
例 1：螺旋序列¶
\(x_k=(\cos k/k,\sin k/k)\) 的每个坐标都趋于零，故 \(x_k\to(0,0)\)；也可直接看 \(\|x_k\|_2=1/k\)。
例 2：逐坐标小但不统一¶
在维数随 \(k\) 增长的空间中，第 \(k\) 个标准基向量的每个固定坐标最终为零，但其 \(\ell^2\) 范数恒为 \(1\)。这说明有限维证明不能偷换成无限维结论。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
收敛向量序列为什么一定是 Cauchy？
答案
若 \(x_k\to x\)，取 \(k,m\) 足够大，由三角不等式 \(\|x_k-x_m\|\le\|x_k-x\|+\|x_m-x\|<\varepsilon\)。
即时检验 2¶
向量极限为什么唯一？
答案
若同时趋于 \(x,y\)，则 \(\|x-y\|\le\|x-x_k\|+\|x_k-y\|\to0\)，故 \(x=y\)。
常见误区与后续¶
- 每个坐标“分别最终成立”必须借有限最大指标升级为“同时最终成立”。
- 有界序列不一定收敛；紧致性将提供收敛子列。
- 完备性说 Cauchy 序列有极限，不说任意序列有极限。
习题与答案¶
习题 1¶
判断 \((1/k,(-1)^k/k)\) 的极限。
答案
两个坐标都趋于零，故向量趋于 \((0,0)\)。
习题 2¶
证明 Cauchy 向量序列有界。
答案
取尾部与某个固定项距离小于 \(1\)，再把有限个前项的范数纳入最大值。
习题 3¶
若 \(x_k\to x,y_k\to y\)，证明 \(x_k+y_k\to x+y\)。
答案
用 \(\|(x_k+y_k)-(x+y)\|\le\|x_k-x\|+\|y_k-y\|\)。
习题 4¶
证明标量乘法保持极限。
答案
分解 \(a_kx_k-ax=a_k(x_k-x)+(a_k-a)x\)，并用收敛数列有界。
习题 5¶
逐坐标 Cauchy 为什么推出向量 Cauchy？
答案
对每个坐标用阈值 \(\varepsilon/\sqrt n\)，取有限个起始指标的最大值。
习题 6¶
若 \(\|x_k\|_2\to0\)，证明 \(\langle a,x_k\rangle\to0\)。
答案
Cauchy–Schwarz 给出绝对值不超过 \(\|a\|_2\|x_k\|_2\)。
习题 7¶
构造有界但不收敛的 \(\mathbb R^2\) 序列。
答案
\(x_k=((-1)^k,0)\) 有界但第一坐标不收敛。
习题 8¶
证明改用 \(\|\cdot\|_\infty\) 得到相同的 Cauchy 序列。
答案
用 \(\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt n\|x\|_\infty\) 双向控制。
习题 9¶
完备性证明在哪一步使用了实数完备性？
答案
从每个坐标是实数 Cauchy 序列推出其具有实数极限时使用。
小结¶
有限维向量收敛就是有限个坐标同时收敛。实数完备性逐坐标传递到 \(\mathbb R^n\)，而有限维性负责把各坐标的控制统一起来。