周期函数与三角函数系怎样构成正交族？¶

先备知识¶

掌握 Riemann 积分、积化和差与周期函数。

学习目标¶

在任意长度为 (T) 的区间上证明三角函数系的正交关系。

牵引问题¶

为什么周期模型优先使用整数频率的正弦与余弦？

探索与猜想¶

不同整数频率在完整周期上的正负贡献恰好抵消。

概念与理论¶

令 (omega=2pi/T)，定义 (langle f,g\rangle=int_{a}^{a+T}fg)。对正整数 (m,n)，积化和差给出

正弦—正弦同理，正弦—余弦恒为零；常数与所有非零频率也正交。

障碍¶

积分区间可以平移，不能偷偷只证明 ([-pi,pi])。

证明路线¶

把乘积化成整数频率的正弦或余弦，再使用端点相差整周期。

逐步证明¶

例如 (2cos m hetacos n heta=cos((m-n) heta)+cos((m+n) heta))。 当 (m\ne n) 时两项积分均为零；当 (m=n) 时第一项积分为 (T)，第二项为零。

假设用在何处¶

(m,n) 为整数保证端点相位差是 (2pi) 的整数倍；(T>0) 保证归一化有效。

失败边界¶

只在半个周期积分时一般不正交；正交也不自动意味着能展开所有函数。

例题与迁移¶

例 1：标准周期¶

取 (T=2pi)，得到 (int_{-pi}^{pi}sin xsin2x,dx=0)。

例 2：周期为 4¶

此时 (omega=pi/2)，基函数是 (cos(npi x/2),sin(npi x/2))。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

常数函数的平方范数是多少？

即时检验 2¶

正交能否推出每个函数都有三角展开？

常见误区与后续¶

• 周期改变时必须同时改变基频与系数归一化。
• 本单元只建立有限族运算需要的正交性。

习题与答案¶

习题 1¶

计算 (int_0^{2pi}cos3x,dx)。

习题 2¶

计算 (int_{-pi}^{pi}cos^2 2x,dx)。

习题 3¶

证明 (sin mx) 与 (cos nx) 正交。

习题 4¶

周期 6 的基频是多少？

习题 5¶

平移积分区间为何不改结论？

习题 6¶

写出余弦—余弦的积化和差公式。

习题 7¶

(sin0x) 是否应列入正弦族？

习题 8¶

正交函数是否必须单位化？

习题 9¶

给出半周期上失去正交的例子。

习题 10¶

本单元为何没有证明完备性？