均方误差为何等于总能量减去投影能量？¶

先备知识¶

掌握正交投影、Fourier 系数和有限部分和。

建立有限阶误差恒等式，并把它解释为最佳平方逼近的剩余能量。

部分和的误差能否仅由已经取到的系数计算？

先在有限阶上展开误差平方；无限结论只能在逼近输入得到后再取极限。

记归一化均方误差

\[ E_N^2=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-S_Nf(x)|^2\,dx. \]

有限阶误差恒等式为

\[ E_N^2=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\,dx- \left(\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^N(a_n^2+b_n^2)\right). \]

它不仅计算误差，也说明 \(S_Nf\) 是所有次数不超过 \(N\) 的三角多项式中的最佳平方逼近。

系数能量上界、误差趋零与逐点行为是不同命题，不能相互替代。

从有限正交恒等式出发，逐项标明取极限所需的输入。

先写任意三角多项式 (T=S_Nf+R)。由投影残差与该有限维空间正交， (|f-T|_2^2=|f-S_Nf|_2^2+|R|_2^2)。因此最小值在 (R=0) 取得；再把 (T=S_Nf) 代入展开得到恒等式。

可积性保证系数与能量有定义；额外逼近或光滑条件只在相应极限步骤使用。

有限计算和抽样图像都不是无限级数等式或收敛方式的证书。

对 (f(x)=x) 写出前三阶误差。

投影能量随 (N) 增大，所以均方误差不增。

本单元首先证明有限还是无限结论？

答案

首先证明有限阶恒等式或有限控制。

图像能否替代理论条件？

答案

不能；图像只显示有限截断或有限采样。

必须核对归一化、适用条件与结论边界。