Taylor 级数什么时候真的等于原函数？¶
先备知识¶
需要第 16 章的有限 Taylor 公式、余项，以及上一单元的系数唯一性。无限可微只保证 所有形式系数存在，不保证余项趋零。
学习目标¶
- 区分有限 Taylor 多项式、Taylor 级数和函数本身；
- 用有限余项趋零证明函数等于其 Taylor 级数；
- 定义实解析函数；
- 证明一个光滑但非解析的标准反例。
牵引问题¶
函数拥有所有阶导数，是否就能由这些导数完全恢复？缺失的信息藏在何处？
探索与猜想¶
有限 Taylor 公式永远包含余项：
只有对固定 \(x\)，\(R_n(x)\to0\)，有限等式的极限才成为无限表示。
概念与理论¶
三个不同对象¶
在中心 \(x_0\)，有限 Taylor 多项式为
Taylor 级数是形式上的无限级数
它可能发散；即使收敛，也未必等于函数本身。三者不可混写。
解析函数¶
若对每个 \(x_0\)（或指定中心），存在 \(r>0\)，使 \(f\) 在 \(|x-x_0|<r\) 内等于某个以 \(x_0\) 为中心的收敛幂级数，则称 \(f\) 在该处 实解析。系数唯一性说明该级数只能是 Taylor 级数。
余项判据¶
定理。 若 \(f\) 在中心邻域内任意阶可微，并且对每个 \(|x-x_0|<r\)，有限 Taylor 公式的余项 \(R_n(x)\to0\)，则 \(f\) 在该邻域等于 Taylor 级数。
证明。 每个 \(n\) 都有有限恒等式 \(f(x)=T_n(x)+R_n(x)\)。固定 \(x\) 后令 \(n\to\infty\)，余项趋零，故 \(T_n(x)\to f(x)\)。证毕。
例如若在 \(|t-x_0|\le r\) 上有 \(|f^{(n+1)}(t)|\le M A^{n+1}\)，则 Lagrange 余项满足
光滑不推出解析¶
定义
对 \(x\ne0\)，反复求导可写成
其中 \(P_m\) 是多项式。因对每个 \(q>0\)，当 \(x\to0\) 时 \(|x|^{-q}e^{-1/x^2}\to0\)，归纳使用差商可得所有 \(f^{(m)}(0)=0\)，所以 \(f\) 光滑。
它在 \(0\) 的 Taylor 级数所有系数均为零，故级数恒为零；但 \(x\ne0\) 时 \(f(x)>0\)。因此它在 \(0\) 不解析：光滑不推出解析。
例题与迁移¶
例 1：指数函数¶
\(e^x\) 的各阶导数仍为 \(e^x\)。在有界区间上 Lagrange 余项被 常数乘 \(|x|^{n+1}/(n+1)!\) 控制，故等于其 Taylor 级数。
例 2：只写系数不够¶
对一个光滑函数列出 \(\sum f^{(n)}(0)x^n/n!\) 只得到候选级数。必须继续证明其 收敛且余项趋于零，才能写等号。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
任意阶可微是否自动解析？
答案
否；本单元的 \(e^{-1/x^2}\) 延拓是反例。
即时检验 2¶
函数等于 Taylor 级数的关键缺口是什么？
答案
必须证明有限 Taylor 余项对所讨论的点趋于零。
习题与答案¶
习题 1¶
写出三阶 Taylor 多项式与 Taylor 级数的区别。
答案
前者只有 \(0\) 到 \(3\) 阶有限项，后者包含全部阶且还需讨论收敛。
习题 2¶
Taylor 级数收敛是否自动等于函数？
答案
不自动；其和可能不同于原函数。
习题 3¶
解析为何推出无限可微？
答案
局部幂级数可任意次逐项微分。
习题 4¶
无限可微为何不推出解析？
答案
导数只确定候选系数，不能保证 Taylor 余项趋零。
习题 5¶
反例在零点的 Taylor 级数是什么？
答案
所有系数为零，故是恒零级数。
习题 6¶
反例为何不等于该级数？
答案
任意非零 \(x\) 处函数值为正，而级数值为零。
习题 7¶
阶乘为何能压过固定指数增长？
答案
相邻项比为 \(A|x-x_0|/(n+2)\to0\)。
习题 8¶
系数唯一性在解析定义中有什么作用？
答案
它说明任何局部幂级数表示都必有 Taylor 系数。
习题 9¶
证明等号时应先固定什么？
答案
先固定邻域中的 \(x\)，再令余项阶数 \(n\to\infty\)。
常见误区与后续¶
- “写出 Taylor 级数”不是“证明 Taylor 展开”。
- 光滑性与解析性是不同强度的正则性。
- 下一单元对常用函数逐一给出等号、收敛域、端点和误差来源。