第 15 章：微分中值定理¶
导数最初描述一个点附近的局部变化。本章要反过来追问：只知道一个函数在整个区间上连续、 内部可导，端点数据能够迫使区间内部出现怎样的导数值？
答案不是一条孤立公式，而是一架逐级升高的定理阶梯：
\[
\text{Fermat}
\longrightarrow
\text{Rolle}
\longrightarrow
\text{Lagrange}
\longrightarrow
\text{Darboux}
\longrightarrow
\text{Cauchy}
\longrightarrow
\text{L’Hôpital}.
\]
每一级都复用前一级的证明结构。局部极值给出水平切线；水平切线定理经辅助函数变成一般 割线斜率；单函数结论再升级为两个函数的变化率比较，最终成为判定未定式极限的工具。
本章共4个核心单元，8.5学时（理论6.5，应用2.0）。
学习路径¶
- 两个端点的信息怎样迫使中间出现特殊切线？ （理论 1.75，应用 0.25）
- 导数符号能推出哪些整体性质？ （理论 1.75，应用 0.50）
- 两个函数的变化率怎样进行严格比较？ （理论 1.50，应用 0.50）
- L’Hôpital 法则何时能判定未定式极限？ （理论 1.50，应用 0.75）
本章的证明主线¶
本章反复使用一种可迁移的证明方法：
- 先把目标导数值改写成“某个辅助函数的导数等于零”；
- 再安排辅助函数的两个端点取相同值；
- 用闭区间最值定理与 Fermat 条件得到 Rolle 定理；
- 调用 Rolle 定理找到所需的内部点；
- 在写成比值之前，单独核验所有分母非零。
这条主线既解释定理为什么成立，也说明每个连续、可导、端点和非零条件究竟用在哪里。
依赖边界¶
本章使用第 11 章的闭区间最值定理、第 13 章的导数定义与可导蕴含连续，以及第 14 章的 求导法则和初等函数导数。本章不借用后续高阶近似来反证当前结论。
第 16–17 章将分别研究带余项的高阶近似，以及凸性、优化和迭代方法。本章只建立这些 主题将要使用的中值定理与极限工具。
完成本章后的自检¶
完成本章后，你应能回答：
- Rolle 定理的三个主要条件分别在证明何处使用？
- Lagrange 中值定理为什么是存在性结论，而不是求点公式？
- 导数不连续时为什么仍不能发生跳跃？
- Cauchy 中值定理为什么应先写成交叉乘积？
- 使用 L’Hôpital 法则前后分别要核验哪些条件？