Gibbs 现象为何不会因增加项数而消失？¶

先备知识¶

掌握 Fourier 系数、逐点收敛、Parseval 等式和均方误差。

学习目标¶

严格区分跳点值、超调高度与超调区域宽度。

牵引问题¶

部分和在每个固定点收敛，为何跳跃附近的波纹仍显著？

探索与猜想¶

同时追踪固定点、移动极值点和有限采样，避免混用不同极限。

概念与理论¶

Gibbs 现象包含三个不同结论。第一，在跳跃点本身，部分和趋于跳跃点半和。第二，在随 \(N\) 向跳点靠近的极值点，相对超调趋于约 \(0.08949\)，因此超调高度不趋于零。第三，发生显著超调的邻域宽度为 \(O(1/N)\)，所以邻域宽度趋于零。

这不与逐点收敛矛盾：逐点定理固定 \(x\)，超调极值点却随 \(N\) 移动。Dirichlet 核的缩放极限把局部问题归结为正弦积分，给出持久的相对超调常数。

障碍¶

有限图像很有说服力，却不会自动提供无限结论或一致误差界。

证明路线¶

先完成解析恒等式和核性质，再解释有限重建与误差指标。

逐步证明¶

把跳跃平移到原点并按跳幅归一化。在 (x=y/N) 的尺度上写部分和积分；核的主部趋向 (sin u/u)。先对固定 (y) 取极限，再寻找首个极值，不能交换成固定 (x) 的逐点命题。

假设用在何处¶

周期性用于归一化；连续性、分段光滑性或平方可积性只在相应定理处使用。

失败边界¶

程序状态和采样值只描述给定有限输入，不能替代理论极限。

例题与迁移¶

例 1：核心模型¶

高度为 2 的方波，极限超调约为 (0.17898)。

例 2：边界核对¶

跳点赋值改变不影响 Gibbs 邻域行为。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

有限计算应返回什么状态？

即时检验 2¶

采样最大误差是一致误差证书吗？

常见误区与后续¶

• 不混淆跳点半和、移动超调极值与邻域宽度。
• 先证明核性质，再使用收敛结论。

习题与答案¶

习题 1¶

部分和在每个固定点收敛，为何跳跃附近的波纹仍显著？

习题 2¶

核对本单元第 2 项结论所需的理论边界。

习题 3¶

核对本单元第 3 项结论所需的理论边界。

习题 4¶

核对本单元第 4 项结论所需的理论边界。

习题 5¶

核对本单元第 5 项结论所需的理论边界。

习题 6¶

核对本单元第 6 项结论所需的理论边界。

习题 7¶

核对本单元第 7 项结论所需的理论边界。

习题 8¶

核对本单元第 8 项结论所需的理论边界。

习题 9¶

核对本单元第 9 项结论所需的理论边界。

习题 10¶

核对本单元第 10 项结论所需的理论边界。