截断阶数、误差指标与采样分辨率怎样选择？¶

先备知识¶

掌握 Fourier 系数、逐点收敛、Parseval 等式和均方误差。

学习目标¶

区分解析误差、积分误差与有限采样指标。

牵引问题¶

网格上的最大误差很小，能否声称全区间误差很小？

探索与猜想¶

同时追踪固定点、移动极值点和有限采样，避免混用不同极限。

概念与理论¶

先用解析系数构造 \(S_N\) 或 \(\sigma_N\)，输出状态 `finite_truncation_only`。均方误差若由 Parseval 尾和精确控制，可作为已证明的积分指标；采样最大误差只是有限网格观察，不是一致误差证书。提高采样分辨率可能发现先前漏掉的峰，却不能把观察自动升级为上确界证明。

对跳跃函数，全区间最大误差不会按连续目标消失；应分别报告连续子区间误差、跳点半和值、均方误差和 Gibbs 邻域宽度。

障碍¶

有限图像很有说服力，却不会自动提供无限结论或一致误差界。

证明路线¶

先完成解析恒等式和核性质，再解释有限重建与误差指标。

逐步证明¶

先选理论问题对应的误差范数，再选阶数；随后选足以显示当前有限多项式的网格。解析系数与采样值分开记录，不从样本反推无限结论。

假设用在何处¶

周期性用于归一化；连续性、分段光滑性或平方可积性只在相应定理处使用。

失败边界¶

程序状态和采样值只描述给定有限输入，不能替代理论极限。

例题与迁移¶

例 1：核心模型¶

方波报告去掉跳点邻域后的采样最大误差。

例 2：边界核对¶

连续函数可用 Fejér 理论提供一致收敛，再用样本作展示。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

有限计算应返回什么状态？

即时检验 2¶

采样最大误差是一致误差证书吗？

常见误区与后续¶

• 不混淆跳点半和、移动超调极值与邻域宽度。
• 先证明核性质，再使用收敛结论。

习题与答案¶

习题 1¶

网格上的最大误差很小，能否声称全区间误差很小？

习题 2¶

核对本单元第 2 项结论所需的理论边界。

习题 3¶

核对本单元第 3 项结论所需的理论边界。

习题 4¶

核对本单元第 4 项结论所需的理论边界。

习题 5¶

核对本单元第 5 项结论所需的理论边界。

习题 6¶

核对本单元第 6 项结论所需的理论边界。

习题 7¶

核对本单元第 7 项结论所需的理论边界。

习题 8¶

核对本单元第 8 项结论所需的理论边界。

习题 9¶

核对本单元第 9 项结论所需的理论边界。

习题 10¶

核对本单元第 10 项结论所需的理论边界。