量词怎样改变一句话？¶

先备知识¶

需要会读集合符号 $\mathbb R$、$\mathbb Z$ 以及“属于”的记号。上一单元的集合语言告诉我们对象来自哪里；本单元关注一句话怎样说明这些对象满足什么条件。高等代数、解析几何与 Python 均无额外先备。

学习目标¶

完成本单元后，你应能：

区分可判定真假的命题与含自由变量的谓词；
准确写出全称量词 $\forall$、存在量词 $\exists$ 及其作用范围；
否定带有嵌套量词的陈述，并用反例解释量词次序不能任意交换。

牵引问题¶

“每个正数都有平方根”说的是

\[ (\forall x>0)(\exists y>0)\ y^2=x. \]

它并不等于“存在一个数，它是每个正数的平方根”：后者要求同一个 $y$ 同时满足所有 $x>0$，显然不可能。量词决定“谁可以随谁改变”，因而改变一句话的数学内容。

探索与猜想¶

设 $A,B$ 是集合，$P(x,y)$ 表示一个可判定真假的条件。比较

\[ (\forall x\in A)(\exists y\in B)P(x,y) \quad\text{与}\quad (\exists y\in B)(\forall x\in A)P(x,y). \]

第一句允许 $y$ 随 $x$ 改变；第二句要求先选定一个 $y$，再面对所有 $x$。例如在 $A=B=\mathbb R$ 中取 $P(x,y)$ 为 $y=x$：第一句为真，第二句为假。

概念与理论¶

命题、谓词与作用域¶

命题是有确定真值的陈述，例如“$2<3$”。含变量的句子，如“$x<3$”，在没有说明 $x$ 时是谓词，不是命题。量词把变量的取值范围和责任范围固定下来：

\[ (\forall x\in A)P(x),\qquad (\exists x\in A)P(x). \]

前者表示 $A$ 中每个 $x$ 都满足 $P$；后者表示至少有一个 $x$ 满足 $P$。量词所管辖的部分称为其作用域。写作时应使用括号，避免让量词越过原本不应管辖的条件。

蕴含、等价与否定¶

陈述 $P\Rightarrow Q$ 的含义是：一旦 $P$ 为真，$Q$ 必须为真；它并不要求 $Q$ 只能由 $P$ 导致。$P\Leftrightarrow Q$ 表示两个方向都成立。否定记作 $\neg P$。基本规则是

\[ \neg(P\land Q)\Longleftrightarrow \neg P\lor\neg Q, \qquad \neg(P\lor Q)\Longleftrightarrow \neg P\land\neg Q, \]

以及

\[ \neg(\forall x\in A\ P(x))\Longleftrightarrow \exists x\in A\ \neg P(x), \qquad \neg(\exists x\in A\ P(x))\Longleftrightarrow \forall x\in A\ \neg P(x). \]

否定量词时，量词类型必须交换，谓词也必须否定。

嵌套量词的否定¶

对任意谓词 $P(x,y)$，逐层使用上面的规则可得

\[ \begin{aligned} \neg(\forall x\in A,\ \exists y\in B,\ P(x,y)) &\Longleftrightarrow \exists x\in A\ \neg(\exists y\in B\ P(x,y))\\ &\Longleftrightarrow \exists x\in A,\ \forall y\in B\ \neg P(x,y). \end{aligned} \]

这就是

\[ \neg(\forall x\in A,\ \exists y\in B,\ P(x,y)) \Longleftrightarrow \exists x\in A,\ \forall y\in B,\ \neg P(x,y). \]

它的语言表述是：“并非每个 $x$ 都能找到一个合适的 $y$”，等价于“有一个 $x$，对任何 $y$ 都不合适”。

例题与迁移¶

例：否定一个分析中的陈述¶

否定“对每个 $\varepsilon>0，都存在 $N\in\mathbb N$，当 $n\ge N$ 时有 $|a_n-L|<\varepsilon$”。

解。保持变量范围不变，逐层交换量词并否定最后的条件，得到

\[ (\exists\varepsilon>0)(\forall N\in\mathbb N)(\exists n\ge N) \quad |a_n-L|\ge\varepsilon. \]

这说明存在一个固定的正误差，无论把起点 $N$ 取得多大，总能在后面找到一项没有进入该误差范围。它预告了数列极限的严格定义为何需要精确的量词次序。

迁移：从自然语言到数学句子¶

“每个整数都能被某个质数整除”应先检查范围。按整除的定义，每个质数都整除 $0$；但质因子通常用于非零整数的因子分解，$0$ 不具有通常意义下的质因子分解。若要表达非单位整数有一个质因子，正确写法是

\[ (\forall n\in\mathbb Z\setminus\{0,\pm1\})(\exists p\text{ 为质数})\ p\mid n. \]

量词公式不是翻译机器；选错范围会把一条本来正确的数学事实写成假话。

即时检验与回望¶

否定“每个实数都大于 $-1$”。

答案

“存在一个实数不大于 $-1$”，即 $(\exists x\in\mathbb R)\ x\le-1$。

否定“对每个 $x\in A$，存在 $y\in B$ 使 $x+y=0$”。

答案

“存在 $x\in A$，使得对每个 $y\in B$ 都有 $x+y\ne0$”。

为什么“每个正数有一个平方根”不表示存在一个共同的平方根？

答案

前一句是 $\forall x\exists y$，$y$ 可以依赖 $x$；共同平方根会要求 $\exists y\forall x$，同一个 $y$ 的平方不可能同时等于 $1$ 和 $4$。

回看牵引问题：量词不只是符号装饰。它规定了选择对象的先后顺序，也规定了反例需要怎样出现。

习题与答案¶

ex-u-01-01-02-01¶

把“每个整数都有一个相反数”写成带量词的陈述，再写出它的否定，并判断原陈述真伪。

答案

原陈述是

\[ (\forall n\in\mathbb Z)(\exists m\in\mathbb Z)\ n+m=0. \]

其否定是

\[ (\exists n\in\mathbb Z)(\forall m\in\mathbb Z)\ n+m\ne0. \]

原陈述为真：给定 $n$ 后取 $m=-n$ 即可。这里 $m$ 可以依赖于 $n$。

ex-u-01-01-02-02¶

否定 $(\exists x\in A)(\forall y\in B)\ P(x,y)$，并写成自然语言。

答案

否定为 $(\forall x\in A)(\exists y\in B)\ \neg P(x,y)$。自然语言是：对 $A$ 中每个 $x$，都能在 $B$ 中找到一个 $y$ 使 $P(x,y)$ 不成立。

ex-u-01-01-02-03¶

在 $A=B=\mathbb R$、$P(x,y)$ 表示 $y=x$ 时，证明 $\forall x\exists y\,P(x,y)$ 为真而 $\exists y\forall x\,P(x,y)$ 为假，由此说明量词不能交换。

答案

完整解答。 对任意 $x\in\mathbb R$，取 $y=x$，便有 $P(x,y)$，所以 $\forall x\exists y\,P(x,y)$ 为真。若 $\exists y\forall x\,P(x,y)$ 为真，则存在固定实数 $y$，对所有 $x$ 都有 $y=x$。分别取 $x=0$ 与 $x=1$，会得到 $y=0$ 且 $y=1$，矛盾。因此后一陈述为假。这里的反例说明：前一句允许见到 $x$ 后再选 $y$，后一句没有这种自由。

ex-u-01-01-02-04¶

判断下列陈述是否为真，并说明理由：$(\forall n\in\mathbb Z)(\exists m\in\mathbb Z)\ n+m=0$。

答案

为真。对给定的 $n$ 取 $m=-n$ 即可；$m$ 允许依赖于 $n$。