怎样计算并可靠核验多元线性化？¶

先备知识¶

已经由证明或符号推导得到解析 Jacobian；本单元不负责自动证明可微。

学习目标¶

用中心差分诊断解析 Jacobian；2. 分离截断误差和舍入误差；3. 解释条件状态。

牵引问题¶

解析 Jacobian 可能抄错，有限差分也会受步长影响。怎样让两者互相核验而不夸大结论？

探索与猜想¶

对第 \(j\) 个坐标，用

\[ \frac{f(x+he_j)-f(x-he_j)}{2h} \]

近似 Jacobian 第 \(j\) 列。多组步长的稳定区间比单次吻合更有信息。

概念与理论¶

问题来源¶

输入函数、调用者给出的解析 Jacobian、核验点、差分步长与条件数阈值。

数学转化¶

逐列中心差分得到数值矩阵；方阵再用 \(\|J\|_\infty\|J^{-1}\|_\infty\) 估计条件数。

算法思想¶

严格检查维度和有限性；分别保存解析矩阵、数值矩阵和最大元素差；方阵用主元消元区分 checked、singular、ill_conditioned。

误差与适用条件¶

平滑函数的中心差分通常有 \(O(h^2)\) 截断误差，但 \(h\) 太小时相减引起舍入误差。解析式与差分的数值吻合只能发现明显错误，不能证明 Fréchet 可微。条件数描述问题敏感性，不是算法稳定性的证书。

伪代码¶

验证 point、step、condition_limit
计算基准输出并锁定维数
验证解析 Jacobian 的行列与有限性
逐坐标做中心差分并拒绝输出维数漂移
比较两个矩阵
若为方阵，估计条件数并给出状态
返回不可变诊断结果与假设

Python¶

唯一实现为 mathbook_examples.multivariate.check_jacobian。页面不复制第二份函数。

结果解释¶

checked 只表示输入合法且未检测到奇异/超阈值条件数；它不是正确性证书。 singular 表示当前解析矩阵不可逆，ill_conditioned 表示局部反问题对误差高度敏感。

例题与迁移¶

例 1：二维系统¶

对 \(F(x,y)=(x^2+y,xy)\)，在 \((2,3)\) 的解析 Jacobian 为 \(\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix}\)，中心差分应在合理步长下接近它。

例 2：病态缩放¶

对 \(F(x,y)=(x,10^{-14}y)\)，差分可很吻合，但条件数约 \(10^{14}\)，仍应报告病态。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

步长越小是否必然越准？

答案

否；截断误差下降时舍入误差可能上升。

即时检验 2¶

矩形 Jacobian 为什么不返回方阵逆条件数？

答案

普通逆矩阵不存在；需要奇异值或广义逆理论，本单元不越界。

即时检验 3¶

状态 checked 证明了什么？

答案

只证明本次诊断流程完成且未触发奇异、病态阈值，不证明解析公式或可微性。

常见误区与后续¶

网格或有限差分是诊断，不是数学证明。
最大元素差依赖尺度，必须连同步长和矩阵一起看。
条件数阈值是报告规则，不是可逆性的数学定义。

习题与答案¶

习题 1¶

写出中心差分的第 \(j\) 列公式。

答案

\([f(x+he_j)-f(x-he_j)]/(2h)\)。

习题 2¶

为何要锁定输出维数？

答案

Jacobian 必须表示固定维数映射；维数漂移使列无法组成同一矩阵。

习题 3¶

非有限函数值应怎样处理？

答案

显式拒绝，不能把 NaN/Inf 纳入误差比较。

习题 4¶

解析矩阵奇异时条件数怎样报告？

答案

状态为 singular，有限条件数记为缺失。

习题 5¶

为什么中心差分优于同步长前向差分？

答案

对足够光滑函数，对称抵消一次项后的主要截断误差，通常达到二阶。

习题 6¶

两种步长结果差异大说明什么？

答案

可能处于截断误差或舍入误差主导区，也可能函数不够光滑，需要进一步诊断。

习题 7¶

为何调用者仍需证明解析 Jacobian？

答案

有限采样不能覆盖所有趋近方式，也不能证明 Fréchet 余项合同。

习题 8¶

病态与奇异有何区别？

答案

奇异表示无逆；病态表示有逆但误差放大很大。

习题 9¶

矩阵维度错误为何应在计算前拒绝？

答案

它违反导数映射的定义域和值域合同，后续比较没有数学意义。

习题 10¶

有限差分误差很小能否证明链式法则？

答案

不能；链式法则来自 Fréchet 余项证明。

习题 11¶

为什么结果保存 assumptions？

答案

让读者知道解析矩阵由调用者提供、差分仅诊断、吻合不证明可微。

习题 12¶

怎样比较不同尺度变量？

答案

先说明单位并合理无量纲化，再报告缩放后的 Jacobian 与条件数。

小结¶

可靠核验把解析矩阵、有限差分、步长、误差和条件状态分开报告。它能发现实现问题，但不会把有限计算包装成 Fréchet 可微或局部可逆的证明。