向量、内积、范数和距离怎样描述多维几何？¶

先备知识¶

会使用实数绝对值、平方和与有限求和。所有向量都属于固定的有限维空间 \(\mathbb R^n\)。

学习目标¶

从内积定义长度与距离；
证明 Cauchy–Schwarz 和三角不等式；
比较 \(\ell^1,\ell^2,\ell^\infty\) 范数；
说明有限维等价范数为何给出相同的收敛概念。

牵引问题¶

一元中的 \(|x-y|\) 同时承担距离和误差。多维中每个坐标都可能变化，应怎样把这些变化压缩为一个可靠的非负数？

探索与猜想¶

对 \(x=(x_1,\ldots,x_n)\)，令

\[ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i,\qquad \|x\|_2=\sqrt{\langle x,x\rangle}. \]

若长度符合几何直觉，就应有 \(|\langle x,y\rangle|\le \|x\|_2\|y\|_2\)。

概念与理论¶

Cauchy–Schwarz 不等式¶

对任意 \(x,y\in\mathbb R^n\)，

\[ |\langle x,y\rangle|\le \|x\|_2\|y\|_2. \]

证明。 若 \(y=0\) 结论显然。否则对任意实数 \(t\)，

\[ 0\le \|x-ty\|_2^2 =\|x\|_2^2-2t\langle x,y\rangle+t^2\|y\|_2^2. \]

这个二次多项式对所有 \(t\) 非负，因此判别式不大于零，整理即得结论。等号当且仅当 \(x,y\) 线性相关。

由此

\[ \|x+y\|_2^2 =\|x\|_2^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|_2^2 \le(\|x\|_2+\|y\|_2)^2, \]

得到三角不等式。于是 \(d(x,y)=\|x-y\|_2\) 满足距离的非负性、分离性、对称性和三角不等式。

有限维常用范数¶

\[ \|x\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|,\qquad \|x\|_\infty=\max_i|x_i|. \]

逐坐标估计与 Cauchy–Schwarz 给出

\[ \|x\|_\infty\le \|x\|_2\le \|x\|_1,\qquad \|x\|_1\le \sqrt n\,\|x\|_2,\qquad \|x\|_2\le\sqrt n\,\|x\|_\infty. \]

有限维范数等价¶

上述不等式说明任取 \(\ell^1,\ell^2,\ell^\infty\) 中两种范数，都存在只依赖于维数的正常数 \(c,C\)，使

\[ c\|x\|_a\le \|x\|_b\le C\|x\|_a. \]

所以一个误差在某种范数下趋于零，当且仅当它在另外两种范数下趋于零。这一结论依赖“有限个坐标”；无限维时不能照搬这些常数。

例题与迁移¶

例 1：线性观测的误差¶

若观测量为 \(\langle a,x\rangle\)，输入扰动为 \(h\)，则

\[ |\langle a,x+h\rangle-\langle a,x\rangle| \le \|a\|_2\|h\|_2. \]

向量 \(a\) 的长度就是该线性观测对 Euclid 扰动的敏感度。

例 2：不同范数下的球¶

在 \(\mathbb R^2\) 中，单位 \(\ell^1\) 球是菱形，单位 \(\ell^2\) 球是圆盘，单位 \(\ell^\infty\) 球是正方形。形状不同，但三者定义同一套“趋近于一点”的序列。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

证明 \(|x_i|\le\|x\|_2\)。

答案

因为 \(x_i^2\le\sum_jx_j^2=\|x\|_2^2\)，两边开平方即可。

即时检验 2¶

若 \(\|x\|_\infty<\varepsilon/\sqrt n\)，\(\|x\|_2\) 有何上界？

答案

由 \(\|x\|_2\le\sqrt n\|x\|_\infty\)，得到 \(\|x\|_2<\varepsilon\)。

常见误区与后续¶

“等价范数”不是说数值相等，而是相互被固定常数控制。
Cauchy–Schwarz 的等号条件是线性相关，不是必须相等。
有限维范数等价不能不加条件地推广到函数空间。

习题与答案¶

习题 1¶

验证 \(d(x,y)=\|x-y\|_2\) 的三角不等式。

答案

写成 \(\|x-z\|_2=\|(x-y)+(y-z)\|_2\)，应用范数三角不等式。

习题 2¶

求 \(x=(1,-2,2)\) 的三种常用范数。

答案

\(\|x\|_1=5,\ \|x\|_2=3,\ \|x\|_\infty=2\)。

习题 3¶

证明 \(\|x\|_2\le\|x\|_1\)。

答案

平方后，\((\sum|x_i|)^2=\sum x_i^2+2\sum_{i<j}|x_ix_j|\ge\sum x_i^2\)。

习题 4¶

说明 \(\|x\|_1\le n\|x\|_\infty\)。

答案

每个 \(|x_i|\le\|x\|_\infty\)，对 \(n\) 项求和。

习题 5¶

何时 \(|\langle x,y\rangle|=\|x\|_2\|y\|_2\)？

答案

当且仅当 \(x,y\) 线性相关；包含其中一个为零的情形。

习题 6¶

证明反向三角不等式 \(|\|x\|_2-\|y\|_2|\le\|x-y\|_2\)。

答案

由 \(\|x\|\le\|x-y\|+\|y\|\) 得一边，交换 \(x,y\) 得另一边。

习题 7¶

若 \(\|x_k\|_1\to0\)，证明每个坐标趋于零。

答案

\(|(x_k)_i|\le\|x_k\|_1\to0\)。

习题 8¶

给出 \(\mathbb R^2\) 中 \(\|x\|_1/\|x\|_\infty=2\) 的向量。

答案

任取 \(x=(a,a)\) 且 \(a\ne0\)，比值为 \(2\)。

小结¶

内积产生 Euclid 范数和距离，Cauchy–Schwarz 控制线性观测，三角不等式控制误差传播。有限维常用范数虽数值不同，却定义相同的收敛与局部概念。