Gamma 积分在哪些参数上收敛，递推公式怎样得到？¶

先备知识¶

熟悉反常积分比较判别、分部积分和指数衰减。

学习目标¶

能证明实参数 Gamma 积分的收敛性并严格推出递推公式。

牵引问题¶

零点附近的幂奇性与无穷远的指数尾怎样分别控制？

探索与猜想¶

在 1 处分拆后，两端由不同机制处理：幂次决定左端，指数决定右端。

概念与理论¶

定义与收敛域¶

对参数大于 0，定义

\[ \Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx. \]

在 1 处分拆。近零处 \(e^{-1}\le e^{-x}\le1\)，故与 \(x^{s-1}\) 同敛散，恰需 \(s>0\)。无穷远处指数压过任意固定幂，可与 \(e^{-x/2}\) 比较。因此积分收敛。

递推公式¶

在 \([\varepsilon,R]\) 上分部积分：

\[ \int_\varepsilon^R x^se^{-x}dx =\left[-x^se^{-x}\right]_\varepsilon^R +s\int_\varepsilon^R x^{s-1}e^{-x}dx. \]

当 \(s>0\) 时，\(\varepsilon^se^{-\varepsilon}\to0\)，且 \(R^se^{-R}\to0\)，所以边界项消失，得到递推公式

\[ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s). \]

特别地 \(\Gamma(1)=1\)，故 \(\Gamma(n+1)=n!\)。

例题与迁移¶

例 1：整数值¶

\(\Gamma(4)=3\Gamma(3)=3!=6\)。

例 2：失败参数¶

\(s=0\) 时近零核近似 \(1/x\)，积分发散。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何必须先处理边界项？

答案

反常分部积分只有在截断边界项极限存在并消失后才给出递推。

即时检验 2¶

哪个端点决定 \(s>0\)？

答案

零端点。

常见误区与后续¶

指数尾不能修复零点的幂奇性。
解析延拓与复参数属于后续函数论方向，不在本章核心范围。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 Gamma 定义。

答案

\(\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx\)。

习题 2¶

收敛需要什么参数条件？

答案

\(s>0\)。

习题 3¶

为何在 1 处分拆？

答案

分离零端幂奇性与无穷远指数尾。

习题 4¶

左端比较对象是什么？

答案

\(x^{s-1}\)。

习题 5¶

右端靠什么收敛？

答案

指数衰减压过固定幂。

习题 6¶

递推式是什么？

答案

\(\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\)。

习题 7¶

\(\Gamma(1)\) 是多少？

答案

\(1\)。

习题 8¶

\(\Gamma(5)\) 是多少？

答案

\(24\)。

习题 9¶

零端边界项为何消失？

答案

\(s>0\) 时 \(\varepsilon^s\to0\)。

习题 10¶

无穷端边界项为何消失？

答案

指数衰减快于任意固定幂增长。