积分号下求导何时成立，反例揭示哪些条件缺口？¶

先备知识¶

熟悉固定端点 Leibniz 公式、一致反常收敛与一致极限。

学习目标¶

能核查导数积分的一致收敛和基点收敛，并拒绝有限截断的假证据。

牵引问题¶

所有有限截断都能求导，为何无限上限仍需要额外条件？

探索与猜想¶

导数族必须有统一尾项，同时要用一个已收敛的积分值固定积分常数。

概念与理论¶

反常积分号下求导定理¶

设 \(J\) 为开区间，\(f,\partial_t f\) 在每个有限矩形上连续。若存在基点 \(t_0\in J\)，使 \(\int_a^\infty f(x,t_0)dx\) 收敛，并且 \(\int_a^\infty\partial_t f(x,t)dx\) 在每个紧参数区间上一致收敛，则

对每个参数 \(t\in J\) 有定义、可导，且

证明路线¶

有限截断 \(F_A\) 满足固定端点公式。导数积分一致收敛使 \(F_A'\) 在每个紧参数区间上一致收敛；基点收敛给出 \(F_A(t_0)\) 的极限。函数列求导定理于是给出 \(F_A\to F\) 及导数交换。

基点收敛为何不可省¶

导数只决定函数到一个常数；基点收敛固定这项常数，并把收敛传播到同一连通参数区间。

反例与数值边界¶

对 \(F(t)=\int_0^\infty e^{-tx}dx=1/t\)，每个 \(t>0\) 的积分存在，但在参数靠近 \(0\) 时原积分和导数积分都缺少统一尾项。有限截断上的数值稳定不能证明一致收敛；有限参数网格也不能覆盖边界附近的所有参数。

例题与迁移¶

例 1：远离边界¶

在 \(t\in[\tau,M]\)、\(\tau>0\) 上，指数尾可由 \(\tau\) 给出统一界，故可交换求导。

例 2：靠近边界¶

当参数集为 \((0,1]\) 时，对任意固定截断 \(A\)，取足够小的 \(t\) 就会留下显著尾项。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何只需一个基点？

即时检验 2¶

数值网格稳定是否是证明？

常见误区与后续¶

• 不要把有限截断公式直接令 \(A=\infty\) 而跳过一致尾项。
• 更弱的可微条件属于后续积分理论范围，本章不作扩展。

习题与答案¶

习题 1¶

定理要求在哪些参数集上一致？

习题 2¶

基点条件是什么？

习题 3¶

导数条件是什么？

习题 4¶

有限截断为何可求导？

习题 5¶

哪个定理完成极限传递？

习题 6¶

\(t=0\) 为何危险？

习题 7¶

缩到 \([\tau,M]\) 有何作用？

习题 8¶

每个参数收敛足够吗？

习题 9¶

有限网格遗漏什么？

习题 10¶

有限上限稳定遗漏什么？

习题 11¶

列出证明的两项核心输入。