哪些函数可积，证明障碍在哪里？¶

先备知识¶

第 19.2 单元给出 Darboux 判据：有界函数 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 可积，当且仅当对每个 \(\varepsilon>0\)，存在分割 \(P\) 使

\[ U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon. \]

第 11.3 单元证明闭区间上的连续函数一致连续。本单元把这些结论转化为三套可复用的可积性证明模板。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

用一致连续性压小连续函数在每个子区间上的振幅；
对单调函数写出上下和差的显式公式；
用小总长度异常区间处理有限个间断点；
证明单点尖峰、有限尖峰和阶梯函数可积；
用 Dirichlet 函数说明处处振荡为何阻止可积；
区分无界性与有界但振荡不消失这两种障碍。

牵引问题¶

连续函数没有跳跃，看起来应当可积；单调函数却可能有跳跃，为什么仍然可积？反过来，一个只取 \(0,1\) 的有界函数为什么可能不可积？

判据真正检查的不是“公式是否漂亮”或“有没有间断”，而是能否找到一个有限分割，使各子区间的

\[ \text{振幅}\times\text{区间长度} \]

之和任意小。

探索与猜想¶

对分割 \(P=\{x_0,\ldots,x_n\}\)，记第 \(i\) 段振幅为

\[ \omega_i=M_i-m_i. \]

则

\[ U(f,P)-L(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i. \]

压小右侧有两种基本策略：

让每段振幅都小；
允许少数段振幅较大，但让这些段的总长度很小。

连续函数使用第一种，有限个间断点使用第二种；单调函数则利用相邻端点差的望远镜求和。

概念与理论¶

闭区间连续函数可积¶

定理。 若 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) Riemann 可积。

证明。 连续函数在闭区间上有界，且一致连续。给定 \(\varepsilon>0\)，由一致连续性存在 \(\delta>0\)，使得

\[ |x-y|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}. \]

选择网格满足 \(\|P\|<\delta\) 的分割。任意两个属于同一子区间的点距离都小于 \(\delta\)，所以该段的振幅满足

\[ \omega_i=M_i-m_i \le\frac{\varepsilon}{b-a}. \]

于是

\[ U(f,P)-L(f,P) =\sum_{i=1}^{n}\omega_i\Delta x_i \le\frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=1}^{n}\Delta x_i =\varepsilon. \]

若希望严格小于，只需在一致连续性中把目标取为 \(\varepsilon/[2(b-a)]\)。由 Darboux 判据，\(f\) 可积。证毕。

闭区间条件同时提供有界性与一致连续性。仅说“每一点附近变化小”还没有给出一个适用于全部子区间的统一网格。

单调函数可积¶

定理。 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上单调，则 \(f\) Riemann 可积。

证明。 先设 \(f\) 递增。取 \(n\) 等分

\[ x_i=a+i\frac{b-a}{n}. \]

在 \([x_{i-1},x_i]\) 上，

\[ m_i=f(x_{i-1}),\qquad M_i=f(x_i). \]

因此

\[ \begin{aligned} U(f,P_n)-L(f,P_n) &=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n}[f(x_i)-f(x_{i-1})]\\ &=\frac{b-a}{n}[f(b)-f(a)]. \end{aligned} \]

给定 \(\varepsilon>0\)，若 \(f(b)=f(a)\)，函数为常数，差为零；否则选择

\[ n>\frac{(b-a)[f(b)-f(a)]}{\varepsilon}, \]

便有 \(U-L<\varepsilon\)。

若 \(f\) 递减，对 \(-f\) 使用递增情形，或直接得到

\[ U(f,P_n)-L(f,P_n) =\frac{b-a}{n}[f(a)-f(b)]. \]

所以两种情形都可积。证毕。

证明只用单调性，不要求函数连续。跳跃会造成局部振幅，但望远镜求和保证总振幅预算仍按 \(1/n\) 衰减。

有限分段连续函数可积¶

推论。 设 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 有界，并且只在有限多个点

\[ c_1,\ldots,c_r \]

可能不连续；在其余点连续。则 \(f\) Riemann 可积。特别地，通常意义下有有限段且各段具有有限单侧极限的分段连续函数可积。

证明。 取 \(M\ge1\) 使 \(|f|\le M\)。给定 \(\varepsilon>0\)，在每个 \(c_j\) 周围选择小区间，使这些异常区间互不重叠，且总长度小于

\[ \frac{\varepsilon}{4M}. \]

把所有异常区间端点和 \(c_j\) 加入分割。在异常区间上，振幅至多 \(2M\)，所以它们对上下和差的总贡献小于

\[ 2M\cdot\frac{\varepsilon}{4M} =\frac{\varepsilon}{2}. \]

删去这些异常区间后，剩余集合是有限个闭区间的并。在每个闭区间上 \(f\) 连续，因而一致连续。由于只有有限段，可以取一个共同的网格阈值，再在每段内加细，使所有正常子区间的振幅都小于

\[ \frac{\varepsilon}{2(b-a)}. \]

正常区间总长度不超过 \(b-a\)，故其贡献小于 \(\varepsilon/2\)。两类贡献相加小于 \(\varepsilon\)，由 Darboux 判据可积。证毕。

这里直接构造了一个全区间分割，没有使用下一单元才证明的区间可加性，因此不存在循环依赖。

障碍一：处处振荡¶

Dirichlet 函数

\[ d(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q \end{cases} \]

在任意非退化子区间上的上确界为一、下确界为零。对任意分割，

\[ U(d,P)-L(d,P) =\sum_{i=1}^{n}1\cdot\Delta x_i =b-a. \]

间隙永远不能压小，因此不可积。问题不只是“间断很多”，而是每个尺度、每个位置的振幅始终为一。

障碍二：无界¶

本章定义从“闭区间上的有界函数”开始。若函数无界，则某些子区间上的上确界或下确界不是有限实数，Darboux 和不再属于本章的有限实数合同。

例如在 \([0,1]\) 上令

\[ g(0)=0,\qquad g(x)=\frac1x\quad(x>0). \]

它在任何包含零的子区间上无界。本章不能把它与 Dirichlet 函数归为同一种失败：前者首先越出定义范围，后者有界但不能压小振幅。

例题与迁移¶

例 1：Lipschitz 控制立即给出可积¶

若

\[ |f(x)-f(y)|\le K|x-y| \]

对所有 \(x,y\in[a,b]\) 成立，则第 \(i\) 段振幅满足

\[ \omega_i\le K\Delta x_i\le K\|P\|. \]

所以

\[ U(f,P)-L(f,P) \le K\|P\|\sum_i\Delta x_i =K(b-a)\|P\|. \]

答案

给定 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \|P\|<\frac{\varepsilon}{K(b-a)} \]

即得 Darboux 判据。若 \(K=0\)，函数为常数，任意分割差都为零。

例 2：有跳跃的单调阶梯¶

固定 \(c\in(a,b)\)，令

\[ s(x)= \begin{cases} 0,&x<c,\\ 1,&x\ge c. \end{cases} \]

它递增但在 \(c\) 不连续。由单调函数定理，对 \(n\) 等分有

\[ U(s,P_n)-L(s,P_n) \le\frac{b-a}{n}. \]

答案

跳跃只落入至多一个或两个与 \(c\) 相邻的闭子区间；一般单调证明已经通过端点差的望远镜求和统一控制，无需先假定连续。

例 3：有限个单点尖峰¶

设 \(h\) 除有限点 \(c_1,\ldots,c_r\) 外恒为零，并满足

\[ |h(c_j)|\le M. \]

用总长度小于 \(\varepsilon/(2M)\) 的有限个小区间覆盖这些点，并把所有端点加入分割。正常区间振幅为零，异常区间振幅至多 \(2M\)，故 \(U-L<\varepsilon\)。

答案

单点尖峰或有限点尖峰都可积，积分为零。关键证据不是点数口号，而是异常区间的总长度可任意压小。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

“函数在每一点连续，所以在每个点附近都能选一个小区间”为什么还不是闭区间连续函数可积的完整证明？

答案

各点给出的半径可能没有统一正下界，无法直接形成一个统一网格阈值。闭区间上的一致连续性把所有局部条件统一为同一个 \(\delta\)。

即时检验 2¶

有限分段连续证明为什么不能直接说“每段都可积，所以相加即可”？

答案

“相邻区间积分可以相加”要到第 19.4 单元才证明。当前这样写会循环依赖；应直接构造包含所有异常区间端点的全区间分割并估计 \(U-L\)。

习题与答案¶

练习 1：Lipschitz 模板¶

设 \(f(x)=x^2\) 定义于 \([0,1]\)。证明

\[ |f(x)-f(y)|\le2|x-y|, \]

并给出保证 \(U-L<\varepsilon\) 的网格条件。

答案

\[ |x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le2|x-y|. \]

由 Lipschitz 估计，

\[ U-L\le2\|P\|. \]

取 \(\|P\|<\varepsilon/2\) 即可。

练习 2：单调函数的分段数¶

设 \(f\) 在 \([2,5]\) 上递增，且 \(f(5)-f(2)=7\)。要用等距分割保证 \(U-L<10^{-3}\)，给出一个充分的 \(n\)。

答案

\[ U-L=\frac{3}{n}\cdot7=\frac{21}{n}. \]

取 \(n>21000\)，例如 \(n=21001\)，即可保证严格小于 \(10^{-3}\)。

练习 3：递减情形¶

设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上递减。写出 \(n\) 等分时上下和差的公式。

答案

每段上确界在左端点、下确界在右端点，因此

\[ U-L =\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n}[f(x_{i-1})-f(x_i)] =\frac{b-a}{n}[f(a)-f(b)]. \]

练习 4：有限尖峰的覆盖预算¶

若 \(|h|\le5\)，且 \(h\) 只在三个点可能非零，要使异常区间贡献小于 \(\varepsilon/2\)，这些区间的总长度取多小就足够？

答案

振幅至多 \(10\)。若总长度小于

\[ \frac{\varepsilon}{20}, \]

则异常贡献小于 \(10\cdot\varepsilon/20=\varepsilon/2\)。

练习 5：阶梯函数¶

证明在 \([0,1]\) 上定义的

\[ f(x)= \begin{cases} -1,&0\le x<1/3,\\ 2,&1/3\le x<3/4,\\ 0,&3/4\le x\le1 \end{cases} \]

可积，但不要使用区间可加性。

答案

函数有界且只在 \(1/3,3/4\) 可能不连续。分别用总长度任意小的区间覆盖两个断点，其他子区间上函数为常数，振幅为零。异常区间振幅至多 \(3\)，故可把 \(U-L\) 压到任意小。

练习 6：Dirichlet 障碍¶

为什么把 Dirichlet 函数的分割点全部选成无理数仍不能降低它的上和？

答案

上和由每个完整子区间上的上确界决定，与分割点本身取何种数无关。任意非退化区间都含有有理数，所以每段上确界仍为一。

练习 7：无界不是同一种反例¶

解释为什么 \(g(0)=0,\ g(x)=1/x\ (x>0)\) 不能直接套用 Darboux 判据宣称“不可积”。

答案

本章判据的前提是闭区间上的有界实值函数。\(g\) 在含零的区间上无界，上和不是有限实数；它先违反定义前提。本单元只记录越界，不扩张定义。

练习 8：循环证明诊断¶

有人证明有限分段连续函数可积时写道：“每一连续段可积，积分可以逐段相加。”这一证明在本章顺序中缺少什么？

答案

它缺少区间可加性，而该性质尚未证明。应先直接构造全区间分割完成可积性证明；第 19.4 单元建立区间可加性后，才可把逐段相加作为推论使用。

常见误区与后续¶

连续自动等于一致连续。 这里必须写出闭区间条件。
认为有跳跃就不可积。 单调函数与有限阶梯函数提供反例。
把无界函数和 Dirichlet 函数混为一谈。 一个越出定义前提，一个在前提内失败。
只说异常点有限。 必须构造总长度可控的异常区间。
倒用区间可加性。 当前证明必须直接使用一个全区间分割。
提前诉诸一般间断点集合理论。 Lebesgue 判据不属于本章依赖范围。

下一单元将证明可积函数的代数封闭、保序估计和区间可加性，为第 20 章研究累积函数建立严格输入。