Jacobian 可逆怎样产生局部反函数？¶

先备知识¶

掌握 Fréchet 微分、链式法则、完备空间上的压缩映射思想和可逆矩阵。

学习目标¶

1. 正确陈述反函数定理；2. 理解证明中的线性主部与压缩步骤；
2. 牢记局部可逆不等于全局一一对应。

牵引问题¶

一元函数导数非零时能在附近反解。多元情形中，哪个对象替代“斜率非零”，又为什么 结论只能先落在邻域内？

探索与猜想¶

若 \(A=DF(a)\) 可逆，则

线性模型 \(h\mapsto Ah\) 可逆；当导数在小邻域内接近 \(A\) 时，非线性余项不会 破坏局部的一一对应和可解性。

概念与理论¶

反函数定理¶

设 \(U\subset\mathbb R^n\) 开，\(F:U\to\mathbb R^n\) 为 \(C^1\) 映射， \(a\in U\)，且 \(DF(a)\)（即方阵 Jacobian）可逆。则存在 \(a\) 的开邻域 \(V\) 与 \(F(a)\) 的开邻域 \(W\)，使

为一一对应，其反函数 \(G:W\to V\) 也是 \(C^1\)，并满足

证明骨架¶

先作仿射归一化，把基点移到零并令 \(DF(0)=I\)。连续性允许选闭球，使 \(\|DF(x)-I\|\le q<1\)。给定小的 \(y\)，求解 \(F(x)=y\) 等价于找

的不动点。中值积分估计给 \(\|T_y(x)-T_y(z)\|\le q\|x-z\|\)，再选球保证 \(T_y\) 映球入自身。完备性与压缩映射给唯一解。随后用差商与链式法则证明反函数可微。

导数公式与范围¶

由 \(G(F(x))=x\) 得

所以 \(DG(F(x))=DF(x)^{-1}\)。公式只在定理产生的邻域内成立。

一点 Jacobian 可逆 不等于在整个区域可逆；甚至处处 Jacobian 可逆也未必给全局 单射。局部可逆不等于全局一一对应，全局结论需要单调性、适当性或其他额外结构。

例题与迁移¶

例 1：极坐标局部反演¶

\(F(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\) 的行列式为 \(r\)。当 \(r\ne0\) 时局部可逆； 但 \(\theta\) 的周期性使它在整个 \((0,\infty)\times\mathbb R\) 上不单射。

例 2：一个剪切映射¶

\(F(x,y)=(x,y+x^2)\) 的 Jacobian 行列式恒为 \(1\)，且这里能显式得到全局反函数 \(G(u,v)=(u,v-u^2)\)。全局性来自显式验证，不是仅由局部定理自动得到。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

反函数定理为什么要求输入和输出维数相同？

即时检验 2¶

\(\det DF(a)\ne0\) 能否证明 \(F\) 在整个 \(U\) 上单射？

常见误区与后续¶

• “Jacobian 非零”应准确写成方阵 Jacobian 可逆或行列式非零。
• 证明中的小邻域由导数连续性和压缩常数共同决定。
• 局部反函数可能不能拼成单值全局反函数。

习题与答案¶

习题 1¶

求 \(F(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)\) 的 Jacobian 行列式。

习题 2¶

上题为什么不在整个平面上一一对应？

习题 3¶

若 \(DF(a)=A\)，写出反函数在 \(F(a)\) 的导数。

习题 4¶

连续性在证明中怎样产生压缩常数？

习题 5¶

为什么压缩映射需在闭球上使用？

习题 6¶

若 \(F(x,y)=(x^2,y)\)，哪些点可应用定理？

习题 7¶

在 \((1,0)\) 附近，上题反函数应选哪个平方根分支？

习题 8¶

解释 \(DG(y)=[DF(G(y))]^{-1}\) 中为何出现 \(G(y)\)。

习题 9¶

处处 Jacobian 可逆时，还需什么才能声称全局反函数？