Fourier 系数为什么来自正交投影？¶

先备知识¶

掌握上一单元的正交关系和有限平方和配方。

学习目标¶

从有限维误差最小化推导 Fourier 系数，而不是把公式当作猜测。

牵引问题¶

在众多三角多项式中，哪些系数最接近给定周期函数？

探索与猜想¶

误差分别沿每个正交方向配方，最优坐标应是投影坐标。

概念与理论¶

对周期 (T)、(omega=2pi/T)，令 (p_N=A_0/2+sum_{n=1}^N(A_ncos nomega x+B_nsin nomega x))。展开 (int|f-p_N|^2) 并用正交性消去交叉项，唯一极小点为

\[ a_0={2over T}\int f,qquad a_n={2over T}\int fcos(n\omega x),qquad b_n={2over T}\int fsin(n\omega x). \]

这就是有限空间中的正交投影与 Fourier 系数归一化。

障碍¶

常数项写成 (a_0/2)，其范数与其他基函数不同。

证明路线¶

逐个系数完成平方，或令误差分别正交于所有基函数。

逐步证明¶

对 (A_n) 的部分为 ((T/2)A_n^2-2A_nlangle f,cos nomega x\rangle)，配方后极小点恰为上式；正弦项相同，常数项单独计算。

假设用在何处¶

(f^2) 可积保证误差有限；有限阶保证只做有限代数运算。

失败边界¶

投影系数存在不等于无限级数逐点收敛到 (f)。

例题与迁移¶

例 1：单一余弦¶

(f(x)=3cos2x) 的唯一非零实系数为 (a_2=3)。

例 2：常数¶

(f=3) 时 (a_0=6)，因此常数项 (a_0/2=3)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何 (a_0) 不是常数项本身？

答案

约定把级数常数项写为 (a_0/2)。

即时检验 2¶

系数唯一性来自哪里？

答案

非零正交基函数线性无关且平方误差严格凸。

常见误区与后续¶

必须先固定周期和积分区间。
正交投影只回答固定有限阶最优，不回答无限极限。

习题与答案¶

习题 1¶

求 (f(x)=sin3x) 的非零系数。

答案

(b_3=1)。

习题 2¶

求 (f=2) 的 (a_0)。

答案

(a_0=4)。

习题 3¶

为什么不同频率没有交叉项？

答案

它们在完整周期上正交。

习题 4¶

周期 4 时 (a_n) 的余弦因子是什么？

答案

(cos(npi x/2))。

习题 5¶

若 (f) 为奇函数，哪个系数族消失？

答案

(a_0) 与全部 (a_n) 消失。

习题 6¶

误差为何要求 (f^2) 可积？

答案

为使平方距离与配方各项有限合法。

习题 7¶

写出误差正交条件。

答案

(f-p_N) 与 (1,cos nomega x,sin nomega x) 均正交。

习题 8¶

投影是否依赖所选阶数？

答案

前 (N) 个系数不依赖更高阶是否加入。

习题 9¶

只采样能证明解析系数吗？

答案

不能，有限采样只给数值近似。

习题 10¶

系数公式能否证明点值收敛？

答案

不能，点值收敛需要后续定理。