第二类曲线积分怎样表示功与环流？¶

先备知识¶

掌握有向切向量、内积、第一类曲线积分与一元积分。

学习目标¶

能计算向量场沿有向曲线的积分，解释功与环流，并完成方向和量纲检查。

牵引问题¶

力只在位移方向上的分量做功；怎样把许多微小有向位移的贡献相加？

探索与猜想¶

小段位移约为 \(r'(t_i)\Delta t_i\)，场在该段做功约为 \(F(r(t_i))\cdot r'(t_i)\Delta t_i\)。Riemann 和提示一个依赖方向的积分。

概念与理论¶

第二类曲线积分¶

设有向分段正则曲线 \(C:r:[a,b]\to\mathbb R^n\)，连续向量场 \(F\) 定义在曲线附近，定义

\[ \int_C F\cdot dr=\int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)dt. \]

在力场语境它是功；在闭曲线的速度场语境常称沿指定方向的环流。二者数学表达相同，但问题解释、单位和曲线是否闭合不同。若 \(F\) 单位为力，\(dr\) 单位为长度，积分单位是能量；速度场沿闭路积分的单位是长度平方/时间。

取向检查¶

计算前写出起点、终点和参数递增方向。反向曲线的 \(dr\) 变号，因此第二类曲线积分变号；这与第一类积分中的 \(ds\ge0\) 不同。

例题与迁移¶

例 1：恒力做功¶

从 \((0,0)\) 沿 \(r(t)=(t,t^2),0\le t\le1\) 到 \((1,1)\)，恒力 \(F=(2,3)\) 做功

\[ \int_0^1(2,3)\cdot(1,2t)dt=\int_0^1(2+6t)dt=5. \]

反向时结果为 \(-5\)，符合起终点互换。

例 2：圆周环流¶

取 \(F=(-y,x)\)，单位圆逆时针参数 \(r(t)=(\cos t,\sin t)\)。则 \(F(r)=r'\)，故环流为 \(\int_0^{2\pi}1dt=2\pi\)。方向若改为顺时针则为 \(-2\pi\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么 \(F\cdot dr\) 只累计切向分量？

答案

内积把场投影到有向位移方向，法向分量与位移内积为零。

即时检验 2¶

闭曲线“环流”一词是否自动规定正方向？

答案

否。必须由参数化或题目另行指定方向。

常见误区与后续¶

不要把 \(F\cdot dr\) 写成 \(\|F\|ds\)：前者有符号且只取切向分量。
功与环流是同一定义的不同解释，不是两个积分公式。
下一单元证明方向变化规律，并找出无需逐路积分的保守场。

习题与答案¶

习题 1¶

恒力 \(F=(a,b)\) 沿线段从 \(p\) 到 \(q\) 的功是多少？

答案

\(F\cdot(q-p)\)。

习题 2¶

零向量场的任意曲线积分是多少？

答案

为零。

习题 3¶

把曲线反向后功怎样变化？

答案

变为原值的相反数。

习题 4¶

若场处处垂直于切向量，积分是多少？

答案

为零，因为内积处处为零。

习题 5¶

\(F=(x,y)\) 沿 \(r(t)=(t,0),0\le t\le2\) 的积分是多少？

答案

\(\int_0^2t,dt=2\)。

习题 6¶

若力单位为牛顿、长度单位为米，功的单位是什么？

答案

牛顿米，即焦耳。

习题 7¶

环流是否要求曲线闭合？

答案

本章将“环流”用于闭曲线；一般开放曲线仍可做第二类曲线积分。

习题 8¶

为什么必须记录参数方向？

答案

第二类曲线积分随方向反转而变号。

习题 9¶

\(F=(-y,x)\) 沿单位圆顺时针的环流是多少？

答案

\(-2\pi\)。