无界区域上的重积分怎样由极限定义？¶

先备知识¶

掌握一元反常积分、有界区域上的重积分和非负函数比较。

学习目标¶

能写明无界区域的穷竭族，区分有限截断值与反常极限。

牵引问题¶

“在整个平面上积分”没有有限分割；应让什么对象趋于无穷？

探索与猜想¶

用一列越来越大的有界区域覆盖目标区域，并观察截断积分是否趋于有限极限。

概念与理论¶

设 \(D\) 为无界区域，\(f\ge0\)。选择有界常用区域 \(D_1\subset D_2\subset\cdots\)，且 \(\bigcup D_n=D\)，称为区域穷竭。定义

\[ \iint_D f\,dA=\lim_{n\to\infty}\iint_{D_n}f\,dA, \]

若极限有限则收敛，否则发散到 \(+\infty\)。非负性使截断值单调增加；在本章常用连续情形，可用区域包含与尾部比较证明标准矩形或圆盘穷竭给出同一值。

必须写出具体极限方式。对变号函数，单独选某种对称穷竭可能制造抵消；只有 \(\iint_D|f|<\infty\) 后，才可安全使用绝对收敛框架。

例题与迁移¶

例 1：平面 Gaussian¶

用圆盘穷竭和极坐标，

\[ \iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dA =2\pi\lim_{R\to\infty}\int_0^Re^{-r^2}r\,dr=\pi. \]

例 2：慢衰减发散¶

\(\iint_{\mathbb R^2}(1+x^2+y^2)^{-1}dA =2\pi\int_0^\infty r/(1+r^2)\,dr\) 发散。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

非负函数的截断积分为何单调？

答案

区域扩大只加入非负贡献。

即时检验 2¶

一个很大的有限截断值能证明收敛吗？

答案

不能，仍需控制所有剩余尾部并证明极限有限。

常见误区与后续¶

无穷不是积分上限符号的装饰，必须由极限定义。
对称截断不等于绝对收敛。
下一单元处理有限区域内的无界奇点。

习题与答案¶

习题 1¶

圆盘穷竭怎样写？

答案

\(D_R=D\cap\{x^2+y^2\le R^2\}\)，令 \(R\to\infty\)。

习题 2¶

矩形穷竭怎样写？

答案

\(D_n=D\cap[-n,n]^2\)。

习题 3¶

非负截断值有上界能推出什么？

答案

单调有界数列收敛，故相应穷竭积分有限。

习题 4¶

\(e^{-r}\) 在平面上可积吗？

答案

可积，\(2\pi\int_0^\infty re^{-r}dr=2\pi\)。

习题 5¶

\(1/r^2\) 在平面外部 \(r\ge1\) 可积吗？

答案

不可积，径向积分为 \(2\pi\int_1^\infty dr/r\)。

习题 6¶

为什么先假设 \(f\ge0\)？

答案

它消除正负抵消，使扩大区域时积分单调。

习题 7¶

收敛值可以是 \(+\infty\) 吗？

答案

广义极限可为 \(+\infty\)，但本书称这种反常积分发散。

习题 8¶

尾部比较的目标是什么？

答案

证明区域外剩余贡献能随截断扩大而任意小。

习题 9¶

为什么要记录穷竭族？

答案

变号情形的结果可能依赖极限路径，记录它才能判断结论含义。