弧长与第一类曲线积分怎样由参数化定义？¶

先备知识¶

掌握正则参数曲线、Riemann 和与一元换元公式。

学习目标¶

能从参数分割形成折线和，推出弧长公式，定义并计算第一类曲线积分。

牵引问题¶

若曲线上每单位长度有密度 \(f\)，怎样累加总量而不依赖走曲线的速度与方向？

探索与猜想¶

对参数分割 \(P:a=t_0<\cdots<t_m=b\)，折线长 \(L_P=\sum_i\|r(t_i)-r(t_{i-1})\|\)。细分时局部弦长近似 \(\|r'(\xi_i)\|\Delta t_i\)，提示极限是速度的积分。

概念与理论¶

对所有参数分割取折线和的上确界定义弧长。分段 \(C^1\) 正则曲线满足

\[ L(C)=\int_a^b\|r'(t)\|dt. \]

证明障碍¶

弦长只看每小段的两个端点，而 \(\int\|r'\|\) 累积段内全部速度；三角不等式只会立刻给出“折线不长于速度积分”，反向不等式需要证明足够细的弦不会漏掉显著长度。

证明路线¶

先在一个 \(C^1\) 段上证明两个不等式：用微积分基本定理得到折线和上界；再用 \(r'\) 的一致连续性和带标记的分割逼近，把速度 Riemann 和夹在弦长和与一个趋于零的误差之间。最后对有限个光滑段相加。

逐步证明¶

第一步，对任意分割 \(P:a=t_0<\cdots<t_m=b\)，

\[ \|r(t_i)-r(t_{i-1})\| =\left\|\int_{t_{i-1}}^{t_i}r'(t)dt\right\| \le\int_{t_{i-1}}^{t_i}\|r'(t)\|dt. \]

求和后 \(L_P\le\int_a^b\|r'\|dt\)，再对所有 \(P\) 取上确界，得到 \(L(C)\le\int_a^b\|r'\|dt\)。

第二步，给定 \(\varepsilon>0\)。因为 \(r'\) 在闭区间上一致连续，可取足够细的分割，使同一小区间内 \(\|r'(t)-r'(\xi_i)\|<\varepsilon/[2(b-a)]\)。于是

\[ \begin{aligned} \|r'(\xi_i)\|\Delta t_i &\le \|r(t_i)-r(t_{i-1})\| +\int_{t_{i-1}}^{t_i}\|r'(\xi_i)-r'(t)\|dt. \end{aligned} \]

同时选细到使 \(\sum_i\|r'(\xi_i)\|\Delta t_i\) 与 \(\int_a^b\|r'\|dt\) 相差小于 \(\varepsilon/2\)。求和便得

\[ \int_a^b\|r'(t)\|dt\le L_P+\varepsilon\le L(C)+\varepsilon. \]

令 \(\varepsilon\downarrow0\)，得到反向不等式。分段 \(C^1\) 情形在给定的有限分点处切开，对各段应用上述结论并相加，故公式成立。

第一类曲线积分¶

若 \(f\) 连续，按“局部密度 × 局部弧长”的和取极限，定义

\[ \int_C f\,ds=\int_a^b f(r(t))\|r'(t)\|dt. \]

取 \(f\equiv1\) 即弧长。设 \(q(s)=r(\phi(s))\)，其中 \(\phi:[c,d]\to[a,b]\) 是端点匹配的单调 \(C^1\) 双射，分段情形逐段处理。

保向情形。 若 \(\phi\) 递增，则 \(\phi'\ge0\)，且

\[ \int_c^d f(q(s))\|q'(s)\|ds =\int_c^d f(r(\phi(s)))\|r'(\phi(s))\|\phi'(s)ds =\int_a^b f(r(t))\|r'(t)\|dt. \]

反向情形。 若 \(\phi\) 递减，则 \(\phi'\le0\)，由 \(\|q'(s)\|=\|r'(\phi(s))\||\phi'(s)|\) 以及反向换元，

\[ \int_c^d f(q(s))\|q'(s)\|ds =-\int_b^a f(r(t))\|r'(t)\|dt =\int_a^b f(r(t))\|r'(t)\|dt. \]

所以第一类曲线积分在两种方向下都不变。

假设位置¶

连续性保证速度与复合密度可积；有限分段允许逐段相加。上述换元公式只要求满足一元换元条件的单调 \(C^1\) 双射，导数可在孤立点为零。但若还要让 \(q\) 成为本章意义下的正则参数化，保持正则参数化还要求 \(\phi'\) 在每个光滑段内不为零：保向时 \(\phi'>0\)，反向时 \(\phi'<0\)。否则 \(q'=r'(\phi)\phi'\) 会停住。

边界¶

弧长等式其实可推广到速度偶尔为零的 \(C^1\) 参数化；正则性在本章用于保证单位切向量、局部弧长坐标和“合法正则重参数化”。非单调替换可能折返或重复走过曲线，不属于同一次重新参数化，不能据此声称积分不变。

迁移¶

今后遇到第一类线积分，先辨认密度 \(f\)，再乘速度 \(\|r'\|\)；更换参数时先检查单调方向，若题目仍称其为正则参数化，还要逐段检查 \(\phi'\ne0\)。

例题与迁移¶

例 1：螺旋线长度¶

对 \(r(t)=(\cos t,\sin t,t),0\le t\le2\pi\)，速度恒为 \(\sqrt2\)，故 \(L=2\sqrt2\pi\)。

例 2：沿半圆的线密度¶

上半圆 \(r(t)=(R\cos t,R\sin t),0\le t\le\pi\)，密度 \(f(x,y)=y\)。于是

\[ \int_C y\,ds=\int_0^\pi R\sin t\cdot R\,dt=2R^2. \]

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

第一类曲线积分反向后为何不变？

答案

速度因子取绝对大小，反向只改变参数次序，不改变局部弧长。

即时检验 2¶

若 \(f\) 的单位是质量/长度，则积分单位是什么？

答案

\(f\,ds\) 的单位是质量，积分给出总质量。

常见误区与后续¶

参数分割的弦长和是定义入口，不是直接把 \(dt\) 当作长度。
第一类曲线积分含 \(\|r'\|\)，因此不依赖方向。
仅能做换元不等于保持正则；后者还需每个光滑段上 \(\phi'\) 不为零。
正则性用于稳定的局部几何语言；下一单元改用有向位移累积。

习题与答案¶

习题 1¶

求线段 \((t,2t),0\le t\le1\) 的长度。

答案

速度为 \(\sqrt5\)，长度为 \(\sqrt5\)。

习题 2¶

半径 \(R\) 的圆周长度是多少？

答案

\(\int_0^{2\pi}Rdt=2\pi R\)。

习题 3¶

为什么折线和使用范数？

答案

每段弦长是端点位移的 Euclid 长度。

习题 4¶

\(\int_C1\,ds\) 表示什么？

答案

曲线的弧长。

习题 5¶

线密度恒为 \(\rho\) 时总质量如何写？

答案

\(M=\rho L(C)\)。

习题 6¶

反向会不会改变 \(\int_C fds\)？

答案

不会，因为换元中出现 \(|\phi'|\)。

习题 7¶

若 \(f\ge0\)，第一类曲线积分能否为负？

答案

不能，被积函数 \(f(r(t))\|r'(t)\|\ge0\)。

习题 8¶

分段曲线的积分怎样计算？

答案

对每个光滑段积分后有限相加。

习题 9¶

为何重新参数化必须覆盖同一次走法？

答案

若重复走过某段，带重数的弧长与积分会相应增加，不再是同一次参数化替换。