可数区间覆盖怎样定义 Lebesgue 外测度？¶

先备知识¶

熟悉下确界、可数族与区间长度。

学习目标¶

能从可数开区间覆盖严格定义任意集合的外测度。

牵引问题¶

复杂集合没有端点，能否用包住它的区间总长度逼近其大小？

探索与猜想¶

每个覆盖给出一个上界；对全部覆盖取下确界，才会去掉覆盖浪费。

概念与理论¶

障碍¶

单个覆盖依赖选择，不能代表集合自身。

证明路线¶

允许全部可数开区间覆盖，并对长度和取下确界。

逐步证明¶

对任意 (E\subseteq\mathbb R)，定义 Lebesgue 外测度

空区间可补足有限覆盖为可数族。所有长度和非负，所以集合有下界；而 \((-N,N)\) 覆盖任意有界集合，故有界集合具有有限候选上界。无界集合也允许 \(m^*(E)=+\infty\)。

假设用在何处¶

开区间便于稍后使用紧致性；可数性使长度和有定义；下确界遍历全部允许覆盖。

失败边界¶

一个有限覆盖只能给 (m^*(E)\le L)，不能说明等号，更不能说明已达到下确界。

例题与迁移¶

例 1：单点候选覆盖¶

\(\{x\}\subset(x-\varepsilon/2,x+\varepsilon/2)\)，故 (m^*({x})\le\varepsilon)。

例 2：有界集合¶

若 (E\subset[a,b])，则对任意 \(\varepsilon>0\)，区间 \((a-\varepsilon/2,b+\varepsilon/2)\) 给出 (m^*(E)\le b-a+\varepsilon)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么定义用下确界而不是最小值？

即时检验 2¶

找到长度和为 3 的覆盖能证明什么？

常见误区与后续¶

• “画出的覆盖很紧”不是达到下确界的证明。
• 下一单元从定义证明外测度三项基本性质。

习题与答案¶

习题 1¶

写出外测度定义中的覆盖条件。

习题 2¶

为何允许值 (+\infty)？

习题 3¶

外测度会为负吗？

习题 4¶

有限覆盖如何写成可数覆盖？

习题 5¶

给 \(\{0\}\) 一个总长度小于 \(10^{-3}\) 的覆盖。

习题 6¶

为何不只允许一个区间？

习题 7¶

下确界一定属于候选集合吗？

习题 8¶

若有覆盖长度和趋于 0，可推出什么？

习题 9¶

开区间端点是否计入覆盖？

习题 10¶

数值搜索找到的最小候选能否称为外测度？