极限什么时候可以穿过连续与积分？¶
先备知识¶
需要连续的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义、闭区间上的 Riemann 可积性与一致收敛。
学习目标¶
- 证明连续函数列的一致极限连续；
- 证明闭区间上 Riemann 可积函数列的一致极限可积；
- 证明极限与积分交换，并推出逐项积分；
- 区分定理的充分条件与偶然成立的交换。
牵引问题¶
逐点极限只控制同一点上的误差，而连续性要比较邻近两点。怎样用一致误差把 \(f(x)\) 与 \(f(y)\) 的比较桥接到同一个连续函数 \(f_N\)？
探索与猜想¶
三段式
揭示了统一 \(N\) 的作用。积分交换则由区间长度乘上统一误差直接控制。
概念与理论¶
连续函数列的一致极限连续¶
定理。 若每个 \(f_n\) 在 \(E\) 上连续，且 \(f_n\to f\) 在 \(E\) 上一致，则 \(f\) 在 \(E\) 上连续。
证明。 固定 \(x_0\in E\) 和 \(\varepsilon>0\)。先由一致收敛选同一个 \(N\)， 使全域上 \(|f_N-f|<\varepsilon/3\)。再由 \(f_N\) 在 \(x_0\) 连续选 \(\delta\)， 使 \(|x-x_0|<\delta\) 时中间差小于 \(\varepsilon/3\)。三角不等式即得 \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)。证毕。
逐点收敛不足：上一单元的 \(x^n\) 在 \([0,1]\) 上由连续函数逐点收敛到在 \(1\) 处不连续的函数。
Riemann 积分交换¶
定理。 若每个 \(f_n\) 在闭区间 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且 \(f_n\to f\) 一致，则 \(f\) Riemann 可积，并且
证明。 一致极限 \(f\) 有界。给定 \(\varepsilon>0\)，先取 \(N\) 使 \(\|f-f_N\|_\infty\) 足够小；再取使 \(f_N\) 上下和差足够小的分割。由 \(f\) 与 \(f_N\) 的上下确界各相差至多统一误差，得到 \(f\) 的上下和差小于 \(\varepsilon\)，故 \(f\) 可积。随后
证毕。
逐项积分¶
若每个 \(u_n\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，且 \(\sum u_n\) 一致收敛到 \(S\)， 则
这是对部分和函数列应用积分交换定理。
这些条件是保证交换的充分条件。某些仅逐点收敛的特殊例子也可能碰巧交换，但不能 由此删除定理条件。
例题与迁移¶
例 1：连续性的快速应用¶
若连续函数级数由 M 判别在 \(E\) 上一致收敛，则其和函数连续。
例 2：积分误差证书¶
若 \(\|f_n-f\|_{\infty,[0,2]}\le10^{-4}\)，则两积分之差不超过 \(2\times10^{-4}\)。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
连续性证明为何不能先为 \(x\) 各选一个不同的 \(N\)？
答案
因为需要同一个连续函数 \(f_N\) 同时比较 \(x\) 与 \(x_0\)。
即时检验 2¶
积分误差为什么出现区间长度？
答案
因为 \(|\int(f_n-f)|\le\int|f_n-f|\le(b-a)\|f_n-f\|_\infty\)。
习题与答案¶
习题 1¶
连续函数列逐点极限是否必连续？
答案
不必；\(x^n\) 在 \([0,1]\) 上给出反例。
习题 2¶
三段式证明中三个误差怎样分配？
答案
可分别控制为 \(\varepsilon/3\)。
习题 3¶
积分交换定理为何要求有限闭区间？
答案
证明使用有限长度和该区间上的 Riemann 可积性。
习题 4¶
若区间长度为 \(5\)，统一误差为 \(\eta\)，积分误差上界是多少？
答案
不超过 \(5\eta\)。
习题 5¶
逐项积分时对哪个函数列应用定理？
答案
对有限部分和函数列。
习题 6¶
一致收敛是否是积分交换的必要条件？
答案
不是；它是本定理的充分条件，某些非一致情形也可能交换。
习题 7¶
若每个 \(f_n\) 连续且一致趋于 \(f\)，\(f\) 是否 Riemann 可积？
答案
在闭区间上是；先得 \(f\) 连续，再由连续函数可积。
习题 8¶
若 \(\sum u_n\) 由 M 判别且每项连续，可推出什么？
答案
和连续；在闭区间上还可逐项积分。
习题 9¶
数值上两积分接近能否证明极限交换？
答案
不能；需要验证统一误差或其他合法充分条件。
常见误区与后续¶
- 交换偶然成立不代表逐点收敛足够。
- 连续性证明的核心是同一个中间函数 \(f_N\)。
- 下一单元说明微分不能只靠函数值的一致误差控制。