第 18 章：原函数与积分方法¶

第四部从差商建立导数，逐步得到求导法则、中值定理、Taylor 公式和 Newton 方法。现在 把方向反过来：如果已知一个函数的变化率，能否恢复产生这一变化率的函数？

这个“逆向问题”比正向求导更困难。一个函数可能有一族只差常数的原函数，也可能没有 原函数；即使原函数存在，也未必能写成有限个熟悉初等函数的组合。本章先把这些层次分开， 再建立几类可验证的计算方法。

本章共5个核心单元，8学时（理论4.5，应用3.5）。

学习路径¶

1. 导数能否反向恢复原函数？ （理论 1.25，应用 0.25）
2. 复合函数的导数怎样反向产生换元法？ （理论 1.00，应用 0.50）
3. 乘积法则怎样反向产生分部积分法？ （理论 1.00，应用 0.50）
4. 有理函数怎样通过代数分解获得原函数？ （理论 1.00，应用 0.50）
5. 怎样选择积分方法并用求导可靠回验？ （理论 0.25，应用 1.75）

本章证明与训练阶梯¶

• 第 18.1 单元建立定义、区间上的常数差定理和原函数存在障碍；
• 第 18.2 单元把链式法则反向读成换元法；
• 第 18.3 单元把乘积法则反向读成分部积分法；
• 第 18.4 单元把有理函数先化为可处理的部分分式；
• 第 18.5 单元混排题型，训练识别结构、选择路线、检查区间和回验结果。

继承、输出与边界¶

本章继承第 14.5 单元的求导熟练度和结构识别，第 15.2 单元的导数 Darboux 性质，以及 第 17 章对导数和函数形态的综合理解。

本章输出原函数语言和四类符号计算能力，但不使用 Riemann 积分或微积分基本定理。积分 号在本章只表示原函数族，不表示分割和的极限。第 19 章将独立定义 Riemann 积分并证明 可积性；第 20 章才连接累积与原函数。

章末自测¶

完成本章后，你应能分别回答：

1. 当前问题问的是原函数存在、初等表示，还是一种具体计算路线？
2. “相差常数”为什么必须限定在一个区间上？
3. 换元时内层导数、工作区间和外层定义域是否都已核验？
4. 分部积分后的新问题是否真的更简单？
5. 有理函数是否先做了多项式除法和实因式分解？
6. 最终结果是否在原工作区间上通过求导回验？

能够把这六个问题分开回答，才算完成了从“会套公式”到“能构造并验证原函数”的升级。