“任意接近”怎样定义函数极限？¶
先备知识¶
数列极限中的“给定 \(\varepsilon\)，再寻找 \(N\)”提供了量词经验。函数极限把 离散的下标起点换成实轴距离的控制半径，因此要熟练使用绝对值不等式与实轴距离。 还要记住：\(a\) 必须是定义域 \(D\) 的聚点，考察点来自 \(D\cap N_\delta^*(a)\)。
学习目标¶
完成本单元后，你应当能够：
- 按正确的量词顺序写出有限点处的有限函数极限；
- 说明 \(\delta\) 可以依赖什么、不能依赖什么；
- 直接证明线性函数和有孔函数的极限；
- 完整证明函数极限的唯一性，并区分极限与点值。
牵引问题¶
对 \(f(x)=3x-1\)，我们想表达 [ x\longrightarrow2\quad\Longrightarrow\quad f(x)\longrightarrow5. ] 若要求函数值误差小于任意给定的 \(\varepsilon>0\)，应当把 \(x\) 限制在多小的 去心邻域中？这个范围必须对该邻域中的每一个定义域点都有效。
探索与猜想¶
由 [ |(3x-1)-5|=3|x-2| ] 可猜到取 \(\delta=\varepsilon/3\)。一个常见失败是先看见某个 \(x\)，再为这个 \(x\) 临时选择 \(\delta\)；这样没有得到统一窗口。正确顺序是：对手先指定 \(\varepsilon\)，我们据此选一个 \(\delta\)，随后任意满足距离条件的 \(x\) 都必须 通过检验。
概念与理论¶
定义：有限点处的有限函数极限¶
设 \(f:D\to\mathbb R\)，\(D\subseteq\mathbb R\)，并设 \(a\in\mathbb R\) 是 \(D\) 的聚点，\(L\in\mathbb R\)。若
则称 \(f\) 在 \(x\to a\) 时以 \(L\) 为极限，记作 [ \lim_{x\to a}f(x)=L. ]
这一定义同时固定了五件事：
- 靠近对象： 自变量 \(x\) 靠近有限实数 \(a\)；
- 允许范围： 只取 \(x\in D\)；
- 目标类型： \(L\) 是有限实数；
- 量词依赖： \(\delta\) 可依赖 \(\varepsilon\)、函数和讨论点，但选定后不能依赖 随后的 \(x\)；
- 去心条件： \(0<|x-a|\) 排除了中心点，所以定义不要求 \(a\in D\)，也不读取 \(f(a)\)。
把量词顺序交换成“存在一个 \(\delta\) 对所有 \(\varepsilon\) 有效”通常过强；把 \(\delta\) 放在 \(x\) 之后选择则过弱。聚点条件保证距离条件并非最终为空。
定理：函数极限的唯一性¶
设 \(a\) 是 \(D\) 的聚点。若 [ \lim_{x\to a}f(x)=L_1,\qquad \lim_{x\to a}f(x)=L_2, ] 其中 \(L_1,L_2\in\mathbb R\)，则 \(L_1=L_2\)。
证明。 反设 \(L_1\ne L_2\)，令 [ \varepsilon=\frac{|L_1-L_2|}{3}>0. ] 由两个极限定义，分别存在 \(\delta_1,\delta_2>0\)，使相应函数值误差小于 \(\varepsilon\)。取 [ \delta=\min{\delta_1,\delta_2}>0. ] 因为 \(a\) 是 \(D\) 的聚点，存在 \(x\in D\) 满足 \(0<|x-a|<\delta\)。于是 [ |f(x)-L_1|<\varepsilon,\qquad |f(x)-L_2|<\varepsilon. ] 由三角不等式， [ |L_1-L_2| \le |L_1-f(x)|+|f(x)-L_2| <2\varepsilon =\frac23|L_1-L_2|, ] 矛盾。因此 \(L_1=L_2\)。\(\square\)
唯一性证明中使用聚点选出一个同时受两套估计控制的定义域点；若没有聚点条件，空窗口 可能让任意 \(L\) 都形式上满足蕴含式。
例题与迁移¶
例题 1：线性函数的极限¶
用定义证明 [ \lim_{x\to2}(3x-1)=5. ]
证明。 给定任意 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon/3>0\)。任取 \(x\in\mathbb R\)，若 \(0<|x-2|<\delta\)，则 [ |(3x-1)-5|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon. ] 这对距离条件内的每个 \(x\) 都成立，故所求极限为 \(5\)。\(\square\)
例题 2：公式有孔但极限存在¶
令 [ D=\mathbb R\setminus{1},\qquad q(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. ] 证明 \(\lim_{x\to1}q(x)=2\)。
证明。 \(1\) 是 \(D\) 的聚点。给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon>0\)。任取 \(x\in D\) 满足 \(0<|x-1|<\delta\)。因为 \(x\ne1\)， [ |q(x)-2| =\left|\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}-2\right| =|x-1| <\delta=\varepsilon. ] 所以极限为 \(2\)。证明从未要求给 \(q(1)\) 赋值。\(\square\)
即时检验与回望¶
即时检验 1：谁依赖谁？¶
在极限定义中，\(\delta\) 能否依赖 \(\varepsilon\)？能否在看到具体 \(x\) 后再改变？
答案
\(\delta\) 可以依赖先给定的 \(\varepsilon\)，也可以依赖固定的函数、讨论点和候选极限。 一旦 \(\delta\) 选定，它必须同时控制所有满足 \(x\in D\) 且 \(0<|x-a|<\delta\) 的 \(x\)，所以不能再随具体 \(x\) 改变。
即时检验 2：端点定义域怎样进入量词？¶
设 \(D=[0,\infty)\)，\(f(x)=\sqrt{x}\)。证明在 \(x\to0\) 且 \(x\in D\) 时， \(f(x)\to0\)。
答案
给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon^2\)。任取 \(x\in D\)，若 \(0<|x|<\delta\)，则 \(x\ge0\)，并且 [ |\sqrt{x}-0|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon. ] 定义只量化 \(D\) 中的点，因此不需要处理 \(x<0\)。
习题与答案¶
习题 1：常数函数¶
设 \(a\) 是 \(D\) 的聚点，\(f(x)=c\) 对所有 \(x\in D\) 成立。用定义证明 \(\lim_{x\to a}f(x)=c\)。
答案
给定 \(\varepsilon>0\)，可取任意 \(\delta>0\)，例如 \(\delta=1\)。任取 \(x\in D\) 满足 \(0<|x-a|<\delta\)，都有 [ |f(x)-c|=|c-c|=0<\varepsilon. ] 故极限为 \(c\)。
习题 2：一般仿射函数¶
设 \(m,b,a\in\mathbb R\)。证明 \(\lim_{x\to a}(mx+b)=ma+b\)，并分别处理 \(m=0\) 与 \(m\ne0\)。
答案
若 \(m=0\)，函数恒为 \(b\)，由常数函数结论即得。若 \(m\ne0\)，给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon/|m|\)。当 \(0<|x-a|<\delta\) 时， [ |(mx+b)-(ma+b)|=|m|\,|x-a|<|m|\delta=\varepsilon. ] 所以两种情形下结论均成立。
习题 3：另一个有孔函数¶
在 \(D=\mathbb R\setminus\{-2\}\) 上定义 [ h(x)=\frac{x^2-4}{x+2}. ] 用定义证明 \(\lim_{x\to-2}h(x)=-4\)。
答案
给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)。若 \(x\in D\) 且 \(0<|x+2|<\delta\)，则 [ h(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2, ] 从而 [ |h(x)-(-4)|=|x+2|<\delta=\varepsilon. ] 故极限为 \(-4\)。
习题 4：改变中心点值¶
定义 \(g(x)=2x+1\)（\(x\ne3\)）且 \(g(3)=-10\)。求并证明 \(\lim_{x\to3}g(x)\)。
答案
候选极限是 \(7\)。给定 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon/2\)。若 \(0<|x-3|<\delta\)，则 \(x\ne3\)，所以 [ |g(x)-7|=|2x+1-7|=2|x-3|<2\delta=\varepsilon. ] 中心点的值 \(-10\) 不进入去心条件，故极限为 \(7\)。
习题 5：否定一个错误候选¶
证明 \(\lim_{x\to0}x\ne1\)。要求给出一个固定的 \(\varepsilon_0\)，并说明任意 \(\delta>0\) 都会失败。
答案
取 \(\varepsilon_0=1/2\)。任给 \(\delta>0\)，令 [ x=\min\left{\frac{\delta}{2},\frac14\right}>0. ] 则 \(0<|x|<\delta\)，且 \(0<x\le1/4\)，所以 [ |x-1|=1-x\ge\frac34>\varepsilon_0. ] 因此不存在能使所有去心点都满足 \(|x-1|<\varepsilon_0\) 的 \(\delta\)，错误候选 \(1\) 被否定。
常见误区与后续¶
- 误区 1： 先固定某个 \(x\)，再选 \(\delta\)。定义要求一个 \(\delta\) 控制 随后的所有允许点。
- 误区 2： 忘记写 \(x\in D\)。定义域外没有函数值，不能参与蕴含式。
- 误区 3： 删除 \(0<|x-a|\) 中的 \(0<\)。那会额外约束中心点，改变极限概念。
- 误区 4： 把某个成功的 \(\delta\) 当作唯一选择。任何更小的正半径也有效。
下一单元将系统练习如何从目标误差反向设计局部半径，再把探索过程整理成从 \(\varepsilon\) 出发的正向证明。