左右极限怎样共同决定双侧极限？¶

先备知识¶

需要会用去心邻域陈述有限点有限极限，并能读取分段函数与不等式条件。实轴上的半区间把“从左靠近”和“从右靠近”分开；所有量词仍只遍历函数定义域 \(D\) 中的点。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

用 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言定义有限左极限与右极限；
完整证明双侧有限极限存在当且仅当左右极限存在且相等；
在分段函数的拼接点分别计算两侧行为；
按相对定义域解释闭区间端点的极限。

牵引问题¶

分段函数

\[ f(x)= \begin{cases} 2+x,&x<0,\\ 2+x^2,&x\ge0 \end{cases} \]

在 \(0\) 左侧和右侧使用不同公式。只检查其中一侧，能否断定双侧极限存在？如果两侧都趋于同一个数，怎样把两份局部证书合并成一份双侧证书？

探索与猜想¶

当 \(x<0\) 且靠近 \(0\) 时，\(|f(x)-2|=|x|\)；当 \(x>0\) 且靠近 \(0\) 时，\(|f(x)-2|=x^2\)。两侧都可以把误差压到任意小，因此猜想双侧极限为 \(2\)。

但若左侧公式改为常数 \(-1\)，右侧公式改为常数 \(1\)，两侧分别稳定地趋于不同数。无论 \(f(0)\) 取什么值，都不可能存在同一个双侧有限极限。这说明两侧的“存在”还不够，极限值还必须相等。

概念与理论¶

左极限¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)，其中 \(D\subseteq\mathbb R\)，并设 \(a\in\mathbb R\) 是 \(D\) 的左侧聚点，即每个 \(r>0\) 都有 \(D\cap(a-r,a)\) 中的点。给定有限实数 \(L_-\in\mathbb R\)。若对每个 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta_->0\)，使任意 \(x\in D\) 满足

\[ a-\delta_-<x<a \]

时都有 \(|f(x)-L_-|<\varepsilon\)，则称 \(f\) 在 \(a\) 的左极限为 \(L_-\)，记为

\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=L_-. \]

右极限¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)，其中 \(D\subseteq\mathbb R\)，并设 \(a\in\mathbb R\) 是 \(D\) 的右侧聚点，即每个 \(r>0\) 都有 \(D\cap(a,a+r)\) 中的点。给定有限实数 \(L_+\in\mathbb R\)。若对每个 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(\delta_+>0\)，使任意 \(x\in D\) 满足

\[ a<x<a+\delta_+ \]

时都有 \(|f(x)-L_+|<\varepsilon\)，则称 \(f\) 在 \(a\) 的右极限为 \(L_+\)，记为

\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=L_+. \]

左右符号描述的是自变量所在的一侧，不表示函数值从正方向或负方向靠近。

双侧极限的左右判别¶

设 \(a\) 同时是 \(D\) 的左侧聚点和右侧聚点。则

\[ \lim_{x\to a}f(x)=L \]

当且仅当

\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=L \qquad\text{且}\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)=L. \]

必要性。 假设双侧极限为 \(L\)。任给 \(\varepsilon>0\)，由双侧定义取得 \(\delta>0\)，使

\[ x\in D,\quad 0<|x-a|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]

若 \(x\in D\) 且 \(a-\delta<x<a\)，则自动有 \(0<|x-a|<\delta\)，所以左侧条件成立；同理，若 \(x\in D\) 且 \(a<x<a+\delta\)，右侧条件也成立。故左右极限都存在且等于 \(L\)。

充分性。 假设左右极限都等于 \(L\)。任给 \(\varepsilon>0\)，分别取得左侧半径 \(\delta_->0\) 和右侧半径 \(\delta_+>0\)。令

\[ \delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}>0. \]

任取 \(x\in D\) 且 \(0<|x-a|<\delta\)。若 \(x<a\)，则

\[ a-\delta_-\le a-\delta<x<a, \]

由左极限定义得 \(|f(x)-L|<\varepsilon\)。若 \(x>a\)，则

\[ a<x<a+\delta\le a+\delta_+, \]

由右极限定义得到同一结论。因为 \(x\ne a\)，这两种情况覆盖所有允许的 \(x\)。故双侧极限为 \(L\)。

相反，若左右极限分别为 \(L_-\) 与 \(L_+\) 且 \(L_-\ne L_+\)，双侧极限不可能存在：一旦存在，必要性会迫使它同时等于两个不同的数。

端点的相对定义域约定¶

若 \(D=[a,b],\qquad a<b\)，则 \(a\) 不是 \(D\) 的左侧聚点，但它是右侧聚点。本书在相对定义域 \(D\) 上讨论 \(x\to a\) 时，允许的去心点都来自右侧，因此该端点极限与右极限相同。上面的双侧判别定理要求左右两侧都实际有定义域点，不能机械地套到只有一侧的端点。

例题与迁移¶

例题 1：两侧公式不同但极限相同¶

对牵引问题中的分段函数，证明 \(\lim_{x\to0}f(x)=2\)。

左侧任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta_-=\varepsilon\)。若 \(-\delta_-<x<0\)，则

\[ |f(x)-2|=|x|<\delta_-=\varepsilon. \]

右侧取 \(\delta_+=\sqrt{\varepsilon}>0\)。

若 \(0<x<\delta_+\)，则

\[ |f(x)-2|=x^2<\delta_+^2=\varepsilon. \]

两侧极限都等于 \(2\)，由左右判别可知双侧极限为 \(2\)。函数在 \(0\) 的取值碰巧也是 \(2\)，但判别过程没有使用这一点。

例题 2：左右极限不同否定双侧极限¶

设

\[ g(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\\ 7,&x=0,\\ 1,&x>0. \end{cases} \]

左侧任取 \(\delta_->0\) 都有 \(|g(x)-(-1)|=0\)，故 \(\lim_{x\to0^-}g(x)=-1\)。同理， \(\lim_{x\to0^+}g(x)=1\)。两侧极限不相等，所以双侧极限不存在。改变 \(g(0)=7\) 不能修复这种两侧冲突。

例题 3：闭区间端点只有可用的一侧¶

令 \(h(x)=\sqrt{x}\)，定义域为 \(D=[0,\infty)\)。任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon^2\)。若 \(x\in D\) 且 \(0<x<\delta\)，则

\[ |\sqrt{x}-0|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon. \]

因此 \(\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0\)。相对定义域讨论 \(x\to0\) 时也得到极限 \(0\)；由于定义域左侧没有点，这不是“两侧都存在且相等”的例子。

即时检验与回望¶

即时检验 1：左右上标表示什么？¶

\(x\to a^-\) 是否表示函数值必须从小于极限值的方向靠近？

答案

不是。负号只表示自变量满足 \(x<a\)，即从 \(a\) 的左侧靠近。函数值可以在候选极限的上方、下方或两边振荡，只要其误差最终小于任意给定的 \(\varepsilon\)。

即时检验 2：为什么取两个半径的最小值？¶

已知左、右两侧分别提供 \(\delta_-\) 与 \(\delta_+\)。直接选其中任意一个，能否保证双侧误差同时受控？

答案

不能保证。一个半径可能只小于左侧证书，却大于右侧所允许的范围。取 \(\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}\) 后，\(|x-a|<\delta\) 会同时落在两份证书的有效范围内。

习题与答案¶

习题 1：符号函数的两侧行为¶

设

\[ s(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\\ 1,&x>0. \end{cases} \]

求 \(x\to0^-\) 与 \(x\to0^+\) 时的极限，并判断双侧极限。

答案

对任意 \(\varepsilon>0\) 和任意 \(\delta_->0\)，当 \(-\delta_-<x<0\) 时都有 \(|s(x)+1|=0<\varepsilon\)，故左极限为 \(-1\)。同理右极限为 \(1\)。两者不相等，所以双侧有限极限不存在。

习题 2：由两侧证书合并双侧证书¶

设 \(f:D\to\mathbb R\)，并设 \(3\) 是共同定义域 \(D\) 的左侧聚点与右侧聚点。已知

\[ \lim_{x\to3^-}f(x)=5, \qquad \lim_{x\to3^+}f(x)=5. \]

对给定的 \(\varepsilon>0\)，左、右定义分别给出 \(\delta_-\) 与 \(\delta_+\)。写出双侧证明的完整最后一步。

答案

令 \(\delta=\min\{\delta_-,\delta_+\}\)。任取 \(x\in D\) 满足 \(0<|x-3|<\delta\)。若 \(x<3\)，则 \(3-\delta_-<x<3\)，由左侧证书得 \(|f(x)-5|<\varepsilon\)；若 \(x>3\)，则 \(3<x<3+\delta_+\)，由右侧证书得到同一结论。因此 \(\lim_{x\to3}f(x)=5\)。

习题 3：参数决定能否拼接¶

设

\[ f_c(x)= \begin{cases} 1+x,&x<0,\\ c-x,&x\ge0. \end{cases} \]

求使 \(\lim_{x\to0}f_c(x)\) 存在的全部 \(c\)。

答案

左侧有 [ |f_c(x)-1|=|x|, ] 故左极限为 \(1\)。右侧有 [ |f_c(x)-c|=|x|, ] 故右极限为 \(c\)。双侧极限存在当且仅当两者相等，即 \(c=1\)；此时双侧极限为 \(1\)。\(f_c(0)=c\) 的取值本身不是判别依据，但在 \(c=1\) 时恰好与极限一致。

习题 4：端点的右极限¶

函数 \(p(x)=x^2\) 的定义域限制为 \([1,4]\)。用定义证明它在左端点 \(1\) 相对定义域的极限为 \(1\)。

答案

定义域中靠近 \(1\) 的去心点只能满足 \(1<x\le4\)。任给 \(\varepsilon>0\)，取

\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}. \]

若 \(x\in[1,4]\) 且 \(1<x<1+\delta\)，则 \(1<x<2\)，所以 \(x+1<3\)。于是

\[ |x^2-1|=|x-1||x+1|<3|x-1|<3\delta\le\varepsilon. \]

故右极限以及相对定义域的端点极限都是 \(1\)。

习题 5：只有左侧定义域时怎样判断¶

设 \(D=(-\infty,0]\)，\(q(x)=2-x\)。判断相对定义域的 \(\lim_{x\to0}q(x)\)，并说明为什么不能要求右极限。

答案

任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(\delta=\varepsilon\)。若 \(x\in D\) 且 \(-\delta<x<0\)，则

\[ |q(x)-2|=|-x|=|x|<\delta=\varepsilon. \]

因此左极限以及相对定义域的端点极限均为 \(2\)。定义域在 \(0\) 右侧没有任何点，\(0\) 不是右侧聚点，所以右极限不是这里需要满足的附加条件。

常见误区与后续¶

左、右上标描述自变量的方向，不描述函数值位于极限值的哪一侧。
左右极限都存在仍不够；只有两者相等时才能拼成双侧有限极限。
\(f(a)\) 不进入去心邻域的极限判别，修改单点值不能消除左右冲突。
双侧判别定理要求定义域在讨论点两侧都有任意接近的点；闭区间端点按实际存在的一侧处理。
下一单元把有限目标换成 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)，但逐侧拆分与合并证书的逻辑保持不变。