分片区域、多连通区域与边界方向怎样处理？¶

先备知识¶

掌握简单区域 Green 公式、有限分片与有向曲线积分。

学习目标¶

能拼接有限个简单片，并对外边界、洞边界逐支定向。

牵引问题¶

区域有凹口或洞时，“逆时针”为什么不能统一描述每个边界分支？

探索与猜想¶

把区域切开后，每条人工切缝属于两个小片；它在两片正边界上的方向相反，积分成对抵消。

概念与理论¶

多连通 Green 公式¶

设 \(D\) 可有限分片成满足上一页条件的简单区域，分片内部不交；\(P,Q\) 在 \(\overline D\) 邻域内 \(C^1\)。则 Green 公式仍成立。正边界的规则是行走时区域始终 在左侧：外边界逆时针，所有洞的内边界顺时针。

有限分片证明¶

对每片应用公式再有限求和。公共内部边界在相邻两片上取相反方向，所以同一曲线积分 成对抵消；余下恰是原区域的全部外部边界分支。因此面积积分相加，边界积分也拼成 \(\partial D\)。这就是内部边界抵消，而不是忽略切缝。

取向检查¶

外边界逆时针时区域在左；沿洞边界必须顺时针，环形材料仍在行走者左侧。法向形式中 洞边界的正外法向指向洞内。

例题与迁移¶

例 1：环域的方向核验¶

令 \(A=\{1\le x^2+y^2\le4\}\)，取 \(P=-y,Q=x\)。外圆半径 \(2\) 逆时针积分为 \(8\pi\)；内圆正向是顺时针，积分为 \(-2\pi\)。总和 \(6\pi\)，等于 \(\iint_A2\,dA=2\cdot3\pi=6\pi\)。若误把内圆也逆时针就会得到错误的 \(10\pi\)。

例 2：矩形挖去小矩形¶

取 \(F=(x,y)\)。散度为 \(2\)，法向形式给净外通量为外矩形面积减洞面积的两倍。 洞边界顺时针，其正外法向指向洞内，正好扣除被挖面积的贡献。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么人工切缝不进入最终边界？

即时检验 2¶

洞边界为何顺时针？

常见误区与后续¶

• 多连通不是失效条件；错误通常来自漏掉洞边界或取向。
• 场必须在区域闭包邻域内 \(C^1\)；洞可排除奇点，但需逐支计入边界。
• 有限分片推广不覆盖任意粗糙边界。

习题与答案¶

习题 1¶

两个相邻矩形的公共边为何抵消？

习题 2¶

有两个洞时边界有几支？

习题 3¶

两支洞边界取什么方向？

习题 4¶

洞边界的正外法向指向哪里？

习题 5¶

环域面积为多少（内外半径 \(r,R\)）？

习题 6¶

若漏掉内边界会怎样？

习题 7¶

有限分片需要各片内部怎样？

习题 8¶

公共边积分为零吗？

习题 9¶

场在洞中心奇异是否必然违规？

习题 10¶

外边界顺时针时公式如何调整？