线性、序关系与区域可加性怎样成立？¶

先备知识¶

掌握 Riemann 和、极限运算和矩形有限分割。

学习目标¶

从和式而非几何直觉证明线性、单调性、绝对值估计与区域可加性。

牵引问题¶

积分公式看似与一元情形相同；哪些结论真的由定义继承，边界又在哪里？

探索与猜想¶

Riemann 和是有限加权和。有限和满足的代数与序性质，在统一网格控制下可传给极限。

概念与理论¶

重积分的基本性质¶

若 \(f,g\) 在矩形 \(R\) 上可积，\(\alpha,\beta\in\mathbb R\)，则

\[ \iint_R(\alpha f+\beta g)=\alpha\iint_Rf+\beta\iint_Rg. \]

若 \(f\le g\)，则积分保持单调性；并有绝对值估计

\[ \left|\iint_R f\right|\le \iint_R|f| \le \operatorname{area}(R)\sup_R|f|. \]

若一条分割线把 \(R\) 分为内部不交的矩形 \(R_1,R_2\)，则

\[ \iint_R f=\iint_{R_1}f+\iint_{R_2}f. \]

证明路线。 取同时适用于各函数与子矩形的公共细分。线性来自每个 Riemann 和的线性；序关系来自每项面积非负；\(|\sum a_k|\le\sum|a_k|\) 给出绝对值估计；子矩形和的重排给出区域可加性。最后让网格趋零。有限次拆分可归纳得到。

例题与迁移¶

例 1：用界估计积分¶

若 \(|f|\le3\) 于面积为 \(2\) 的矩形，则 \(\left|\iint f\right|\le6\)，无需先求积分。

例 2：符号抵消¶

若 \(R=[-1,1]\times[0,1]\)，\(f(x,y)=x(1+y^2)\)，关于 \(x\) 的对称小矩形成对抵消，故积分为 \(0\)；但 \(\iint_R|f|>0\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\iint f\le\iint g\) 需要什么条件？

答案

两函数可积且在整个区域上逐点满足 \(f\le g\)。

即时检验 2¶

区域可加性是否允许重叠区域重复计算？

答案

不允许；这里要求内部不交，只可共享边界。

常见误区与后续¶

\(|\int f|=\int|f|\) 一般不成立。
有向积分可以为负，几何体积则需非负被积函数。
下一单元把矩形理论用于常见有界区域。

习题与答案¶

习题 1¶

若 \(0\le f\le5\)，区域面积为 \(4\)，积分范围是什么？

答案

\(0\le\iint f\le20\)。

习题 2¶

证明常数可提出积分号。

答案

每个 Riemann 和都可提出该常数，再取极限。

习题 3¶

若 \(f=g\) 除一条分割边外，能否由本定理直接断言积分相等？

答案

本单元尚未建立忽略一般边界集合的定理，不能只凭直觉跳步。

习题 4¶

\(\iint(f-g)\) 如何改写？

答案

等于 \(\iint f-\iint g\)。

习题 5¶

若 \(|f-g|\le\eta\)，积分差如何控制？

答案

至多 \(\eta\operatorname{area}(R)\)。

习题 6¶

为什么公共细分重要？

答案

它让两个函数和多个子区域的估计在同一组小矩形上逐项比较。

习题 7¶

奇函数对称抵消能否推出绝对值积分为零？

答案

不能；绝对值破坏符号抵消。

习题 8¶

有限区域拆分怎样推广？

答案

对区域数作归纳，反复应用两块区域可加性。