函数怎样在有限点附近趋于无穷？¶

先备知识¶

本单元继续使用定义域 \(D\)、去心邻域和单侧邻域。需要会把 \(0<|x-a|<\delta\) 看成实轴距离条件，并会在正数范围内反转倒数不等式：若 \(0<u<v\)，则 \(1/u>1/v\)。第 5 章已经给出了数列趋于正负无穷的阈值语言；这里把“指标充分大”改写成“自变量与有限点的距离充分小”。

学习目标¶

用 \(M\) 与 \(\delta\) 定义有限点处的正无穷极限和负无穷极限；
写出四种单侧无穷极限，并判断双侧结论是否成立；
按定义证明 \(1/x\) 与 \(1/x^2\) 在零点附近的不同行为；
准确说明竖直渐近线的单侧边界，不把无穷记号当作函数值。

牵引问题¶

当 \(x\) 从右侧靠近 \(0\) 时，\(1/x\) 可以超过任何预先给定的正数；从左侧靠近时，它却可以低于任何预先给定的负数。为什么 \(1/x^2\) 在两侧都趋向同一个方向？“越来越大”必须怎样写成对每个阈值都有效的陈述？

探索与猜想¶

先指定高度 \(M>0\)。若要使 \(1/x>M\)，在 \(x>0\) 的前提下只需 \(x<1/M\)；若要使 \(1/x^2>M\)，只需 \(0<|x|<1/\sqrt M\)。因此证明不是先固定一串样本点，而是接收任意高度 \(M\)，再反向给出足以越过该高度的距离 \(\delta\)。

这里的 \(+\infty\) 与 \(-\infty\) 不是实数，也不是函数在讨论点取得的值。它们描述的是：无论门槛放得多高或多低，某个充分小的去心邻域内所有定义域点都越过门槛。

概念与理论¶

定义（有限点处的正无穷极限）¶

设 \(a\in\mathbb R\) 是 \(D\subseteq\mathbb R\) 的聚点，\(f:D\to\mathbb R\)。若

\[ \forall M>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow f(x)>M, \]

则称 \(f(x)\) 在 \(x\to a\) 时趋于正无穷，记作

\[ \lim_{x\to a}f(x)=+\infty. \]

量词次序不能交换：\(\delta\) 可以依赖预先给定的 \(M\)，却必须同时控制该去心邻域内的每一个 \(x\in D\)。

定义（有限点处的负无穷极限）¶

在同样条件下，若

\[ \forall M>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow f(x)<-M, \]

则称 \(f(x)\) 在 \(x\to a\) 时趋于负无穷，记作

\[ \lim_{x\to a}f(x)=-\infty. \]

这里仍只让 \(M\) 取正数；目标条件中的 \(-M\) 才表示向负方向越过任意门槛。

定义（单侧无穷极限）¶

单侧定义同时指定接近方向和函数值方向。以下四条是彼此独立的定义；每一条中的 \(\delta\) 都只需服务于该条定义，并可依赖预先给定的 \(M\)。设 \(f:D\to\mathbb R\)，并在每一条中假设 \(a\) 是 \(D\) 相应一侧的聚点。

定义：右侧正无穷¶

\[ \forall M>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad 0<x-a<\delta\Longrightarrow f(x)>M. \]

这表示 \(\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty\)。

定义：右侧负无穷¶

\[ \forall M>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad 0<x-a<\delta\Longrightarrow f(x)<-M. \]

这表示 \(\lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty\)。

定义：左侧正无穷¶

\[ \forall M>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad 0<a-x<\delta\Longrightarrow f(x)>M. \]

这表示 \(\lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty\)。

定义：左侧负无穷¶

\[ \forall M>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in D,\qquad 0<a-x<\delta\Longrightarrow f(x)<-M. \]

这表示 \(\lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty\)。

定理（同号单侧极限判别双侧极限）¶

假设 \(D\) 在 \(a\) 的左右两侧都有点任意靠近 \(a\)。则

\[ \lim_{x\to a}f(x)=+\infty \]

当且仅当左右极限都为 \(+\infty\)；把所有正号换成负号，结论同样成立。

证明。 先设双侧极限为 \(+\infty\)。给定 \(M>0\)，由双侧定义取得 \(\delta>0\)。任取 \(x\in D\)。若 \(0<x-a<\delta\)，则 \(0<|x-a|<\delta\)，所以 \(f(x)>M\)；若 \(0<a-x<\delta\)，同样有 \(0<|x-a|<\delta\)，所以仍有 \(f(x)>M\)。因此同一个 \(\delta\) 分别证明两个单侧极限为 \(+\infty\)。

反过来，设左右极限都为 \(+\infty\)。给定 \(M>0\)，分别取得 \(\delta_+>0\) 与 \(\delta_->0\)，并令

\[ \delta=\min\{\delta_+,\delta_-\}. \]

若 \(x\in D\) 且 \(0<|x-a|<\delta\)，则 \(x>a\) 或 \(x<a\)。前一种情形由右侧定义得到 \(f(x)>M\)，后一种情形由左侧定义得到 \(f(x)>M\)，故双侧极限为 \(+\infty\)。

对负无穷，若双侧极限为 \(-\infty\)，给定 \(M>0\)，由双侧定义取得 \(\delta>0\)。任取 \(x\in D\)：限制到 \(0<x-a<\delta\) 或 \(0<a-x<\delta\) 时，测试点仍属于 \(D\)，并且都满足 \(0<|x-a|<\delta\)，所以分别得到 \(f(x)<-M\)，从而两个单侧极限都为 \(-\infty\)。反之，若两个单侧极限均为 \(-\infty\)，给定 \(M>0\)，分别取得使 \(f(x)<-M\) 成立的 \(\delta_+,\delta_->0\)。取 \(\delta=\min\{\delta_+,\delta_-\}\)，再按 \(x>a\) 与 \(x<a\) 分类，即得整个去心邻域内 \(f(x)<-M\)。因此负无穷的双侧判别也成立。\(\square\)

竖直渐近线的适用边界¶

若 \(a\) 是 \(D\) 至少一侧的聚点，并且四种单侧极限中至少一种等于 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)，则直线 \(x=a\) 称为图像在相应一侧的竖直渐近线。因此，竖直渐近线不要求两个单侧极限同号，也不要求双侧无穷极限存在，更不要求 \(f(a)\) 有定义。

反过来，仅仅说“每个去心邻域内的函数值都无界”还不够；无穷极限要求整个充分小的相应半邻域都越过同一个门槛，而不是只在其中找得到少数很大的值。

例题与迁移¶

例题 1：倒数函数的两个单侧方向¶

设 \(f(x)=1/x\)，\(D=\mathbb R\setminus\{0\}\)。给定 \(M>0\)，取 \(\delta=1/M\)。

若 \(0<x<\delta\)，则 \(0<x<1/M\)，由倒数不等式得到 \(1/x>M\)，所以

\[ \lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty. \]

若 \(-\delta<x<0\)，则 \(0<-x<1/M\)，从而 \(1/(-x)>M\)，即 \(1/x<-M\)，所以

\[ \lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty. \]

两个单侧方向相反，故双侧极限既不是 \(+\infty\) 也不是 \(-\infty\)；但直线 \(x=0\) 仍是两侧意义下的竖直渐近线。

例题 2：平方消除左右符号差异¶

设 \(g(x)=1/x^2\)，\(D=\mathbb R\setminus\{0\}\)。给定 \(M>0\)，取

\[ \delta=\frac1{\sqrt M}>0. \]

若 \(0<|x|<\delta\)，则 \(0<x^2<1/M\)，再次使用正数的倒数不等式可得 \(1/x^2>M\)。因此

\[ \lim_{x\to0}\frac1{x^2}=+\infty. \]

这个证明一次控制了左右两侧。也可以分别证明两个单侧极限均为 \(+\infty\)，再应用同号单侧判别。

即时检验与回望¶

即时检验 1：从高度反推半径¶

直接按定义证明

\[ \lim_{x\to2}\frac4{(x-2)^2}=+\infty. \]

答案

给定 \(M>0\)，取 \(\delta=2/\sqrt M\)。若 \(0<|x-2|<\delta\)，则

\[ 0<(x-2)^2<\frac4M, \]

所以 \(4/(x-2)^2>M\)。选择只依赖 \(M\)，并控制了整个去心邻域，故定义成立。

即时检验 2：双侧结论与渐近线¶

判断 \(1/(x-3)\) 在 \(x\to3\) 时是否有双侧无穷极限，并判断 \(x=3\) 是否为竖直渐近线。

答案

把例题 1 中的 \(x\) 换成 \(x-3\)，可得

\[ \lim_{x\to3^+}\frac1{x-3}=+\infty,\qquad \lim_{x\to3^-}\frac1{x-3}=-\infty. \]

单侧方向不同，所以双侧无穷极限不存在；至少一个单侧极限为无穷，故 \(x=3\) 是竖直渐近线。

习题与答案¶

习题 1：正系数平方分母¶

按定义证明

\[ \lim_{x\to2}\frac3{(x-2)^2}=+\infty. \]

答案

给定 \(M>0\)，取 \(\delta=\sqrt{3/M}\)。若 \(0<|x-2|<\delta\)，则

\[ 0<(x-2)^2<\frac3M, \]

故 \(3/(x-2)^2>M\)。这对任意 \(M>0\) 成立，所以所求极限为 \(+\infty\)。

习题 2：负系数平方分母¶

按定义证明

\[ \lim_{x\to-1}\frac{-5}{(x+1)^2}=-\infty. \]

答案

给定 \(M>0\)，取 \(\delta=\sqrt{5/M}\)。当 \(0<|x+1|<\delta\) 时，

\[ 0<(x+1)^2<\frac5M \quad\Longrightarrow\quad \frac5{(x+1)^2}>M. \]

两边乘以 \(-1\)，得到 \(-5/(x+1)^2<-M\)，正是负无穷极限的定义。

习题 3：平移后的倒数¶

证明 \(1/(x-4)\) 在 \(4\) 的右侧趋于 \(+\infty\)、左侧趋于 \(-\infty\)。

答案

给定 \(M>0\)，统一取 \(\delta=1/M\)。若 \(0<x-4<\delta\)，则 \(1/(x-4)>M\)。若 \(0<4-x<\delta\)，则

\[ \frac1{x-4}=-\frac1{4-x}<-M. \]

这分别验证了右侧正无穷和左侧负无穷的全部量词。

习题 4：只有一侧发散的拼接函数¶

设

\[ h(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\ 1/x,&x>0. \end{cases} \]

说明 \(x=0\) 是否为竖直渐近线，并判断双侧无穷极限。

答案

右侧沿用倒数函数证明：给定 \(M>0\)，取 \(\delta=1/M\)，则 \(0<x<\delta\) 蕴含 \(h(x)>M\)，所以右极限为 \(+\infty\)。左侧任意足够靠近零的点都满足 \(h(x)=0\)，故左极限为有限数 \(0\)。

按单侧边界，右侧无穷已经足以使 \(x=0\) 成为竖直渐近线；左右行为不可能共同满足双侧正无穷或负无穷的定义，所以双侧无穷极限不存在。

习题 5：邻域内无界不等于无穷极限¶

对 \(x\ne0\)，令

\[ k(x)=\frac{\sin(1/x)}x. \]

证明它在零点任一侧的每个去心邻域内都无界，但没有任何单侧正负无穷极限。

答案

取

\[ x_n=\frac1{\pi/2+2\pi n},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2\pi n}. \]

二者都从右侧趋于 \(0\)，并且

\[ k(x_n)=\pi/2+2\pi n,\qquad k(y_n)=-(3\pi/2+2\pi n). \]

所以任给 \(\delta>0\) 和任意高度，都可取充分大的 \(n\)，使 \(x_n,y_n\in(0,\delta)\)，同时得到任意大的正值与任意小的负值。于是右侧既不可能最终全部大于某个正门槛，也不可能最终全部小于某个负门槛，两个右侧无穷极限都不存在。

又因为 \(k(-x)=k(x)\)，同样的点取相反数便证明左侧结论。故每侧每个去心邻域内都无界，却没有竖直渐近线所要求的单侧无穷极限。

常见误区与后续¶

把 \(\infty\) 当成可以代入函数的实数，写成“\(f(a)=\infty\)”；正确对象是带量词的局部行为。
只找到一列函数值越来越大；定义要求某个充分小的整个半邻域或去心邻域都越过门槛。
看到分母趋近于零就忽略符号。\(1/x\) 与 \(1/x^2\) 的左右行为正好说明符号检查不可省略。
误以为竖直渐近线必有双侧同号极限。它是单侧即可成立的几何名称。

下一单元把讨论点从有限实数 \(a\) 移到实轴的无界射线，距离阈值 \(\delta\) 将相应改为尾部阈值 \(R\)。