三重积分怎样按截面或投影逐层计算？¶

先备知识¶

掌握三重积分定义、平面区域和二重累次积分。

学习目标¶

从立体的投影与截面写出三层积分限。

牵引问题¶

三维区域有六种积分次序；怎样避免只凭公式排列变量？

探索与猜想¶

先选最内层方向，沿平行直线找进入和离开立体的曲面；剩下两个变量落在相应平面投影上，再用二重积分描述。

概念与理论¶

若

\[ \Omega=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ u(x,y)\le z\le v(x,y)\}, \]

且函数连续，则

\[ \iiint_\Omega f\,dV =\iint_D\left(\int_{u(x,y)}^{v(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dA. \]

再把 \(D\) 写成 x-型或 y-型，得到三层累次积分。最内层界来自空间截面，外两层来自平面投影；每次改变积分次序都要重新描述立体。

例题与迁移¶

例 1：曲顶柱体¶

\(\Omega=\{0\le x\le1,0\le y\le1,0\le z\le x+y\}\) 的体积为 \(\int_0^1\int_0^1\int_0^{x+y}1\,dz\,dy\,dx=1\)。

例 2：四面体¶

\(x,y,z\ge0,\ x+y+z\le1\) 可写为 \(0\le x\le1,\ 0\le y\le1-x,\ 0\le z\le1-x-y\)，体积为 \(1/6\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

最内层 \(z\) 的上下界可以依赖哪些变量？

答案

可以依赖外层变量 \(x,y\)，不能依赖已经积分掉的 \(z\)。

即时检验 2¶

外两层描述什么对象？

答案

立体在相应坐标平面上的投影区域。

常见误区与后续¶

三层上下限必须从外到内逐层解释。
改次序不是变量名排列游戏。
球与柱体常在下一章用新坐标更自然。

习题与答案¶

习题 1¶

长方体三重积分为何等于三边长乘积？

答案

对 \(1\) 作三次常限积分即可。

习题 2¶

四面体在 \(xy\) 平面的投影是什么？

答案

\(x,y\ge0,\ x+y\le1\)。

习题 3¶

曲顶柱体的体积被积函数是什么？

答案

\(1\)。

习题 4¶

密度积分的单位怎样得到？

答案

体密度单位乘体积单位得到质量单位。

习题 5¶

若最内层截线为空怎么办？

答案

外层投影不应包含该点，或需要分片重新描述。

习题 6¶

交换 \(y,z\) 次序需要做什么？

答案

重新求相应平面投影和沿新最内层方向的边界。

习题 7¶

对称性能怎样核验结果？

答案

对称立体上奇对称被积函数的成对贡献应抵消。

习题 8¶

三重积分是否必须按 \(z,y,x\) 顺序？

答案

不必；合法条件下可选适合区域和函数的次序。

习题 9¶

为什么球体用直角坐标常需复杂积分限？

答案

曲面边界给出嵌套平方根，后续球坐标会直接表达半径与角度。