联合密度怎样产生边缘密度、期望与协方差？¶

先备知识¶

掌握非负函数重积分、区域投影和累次积分。

学习目标¶

只用重积分语言处理连续型联合密度，不展开完整概率论。

牵引问题¶

二维密度怎样压缩成单个变量的分布信息，又怎样记录两个变量共同变化？

探索与猜想¶

固定一个变量并对另一个积分，就把二维局部权重沿截线累加为一维边缘权重。

概念与理论¶

函数 \(p(x,y)\) 成为连续型联合密度必须满足：

1. \(p\ge0\)；
2. 在支持区域 \(D\) 上归一化：\(\iint_Dp\,dA=1\)。

若截线范围由 \(D\) 决定，\(X\) 的边缘密度

类似定义 \(p_Y\)。期望是加权积分：

协方差

这些公式建立在积分存在的前提下。本单元不讲条件分布、概率公理或一般随机变量变换。

例题与迁移¶

例 1：单位正方形均匀密度¶

\(p=1\) 于 \([0,1]^2\)。两边缘密度均为 \(1\)，\(E[X]=E[Y]=1/2\)， \(E[XY]=1/4\)，故协方差为 \(0\)。

例 2：三角形支持¶

在 \(D=\{x,y\ge0,x+y\le1\}\) 上常密度必须为 \(2\)，因为三角形面积为 \(1/2\)； \(p_X(x)=\int_0^{1-x}2dy=2(1-x)\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

积分为 \(1\) 但函数有负值，能否作为密度？

即时检验 2¶

协方差为零是否在本单元中推出独立？

常见误区与后续¶

• 边缘积分限来自支持区域，不总是常数。
• 先归一化，再计算矩。
• 概率无单位，但密度单位取决于变量单位。

习题与答案¶

习题 1¶

常数 \(c\) 在面积 \(A\) 的区域上归一化需要什么？

习题 2¶

边缘密度积分为何仍为 \(1\)？

习题 3¶

\(E[X^2]\) 的被积函数是什么？

习题 4¶

方差怎样写？

习题 5¶

联合密度的支持区域为什么重要？

习题 6¶

单位正方形均匀密度的 \(E[X^2]\)？

习题 7¶

协方差的单位是什么？

习题 8¶

归一化常数如何求？

习题 9¶

能否忽略非负性只看归一化？

习题 10¶

本单元明确不展开哪些内容？