多个约束、几何解释和异常点怎样处理？¶
先备知识¶
掌握单约束乘子法、矩阵秩、隐函数定理与正交补。
学习目标¶
- 写出多约束乘子条件；2. 检查约束梯度线性无关；3. 单独处理异常点。
牵引问题¶
多个约束的法向可能相互依赖。此时乘子方程为何会失真，候选又该怎样补回？
探索与猜想¶
令 \(G=(g_1,\ldots,g_m)\)。若 \(DG(a)\) 满行秩，则可行切空间是 \(\ker DG(a)\)，其正交补由各约束梯度张成。
概念与理论¶
多约束必要条件¶
设 \(G:\mathbb R^n\to\mathbb R^m\) 为 \(C^1\)，\(G(a)=0\)，且约束梯度 \(\nabla g_1(a),\ldots,\nabla g_m(a)\) 梯度线性无关。若 \(a\) 为约束局部极值， 则存在 \(\lambda\in\mathbb R^m\) 使
这就是多个约束的正则乘子条件。几何上目标梯度属于法空间 \(\operatorname{range}DG(a)^\mathsf\)。
异常点¶
若 \(\operatorname{rank}DG(a)<m\)，该点为本框架下的异常点。不能因约束资格失败 而删除它；应：
- 解出或描述退化可行集；
- 改用独立约束子集（若合法）；
- 沿可行曲线或直接比较目标；
- 把结论与正则候选共同汇总。
这叫直接检查，不是把零梯度约束硬塞进正则定理。本章仍不覆盖不等式约束， 不建立一般 KKT 理论。
例题与迁移¶
例 1：球面与平面¶
约束 \(x^2+y^2+z^2=1,\ z=0\) 在交圆上梯度 \((2x,2y,0),(0,0,1)\) 线性无关， 故可使用两个乘子。
例 2：重复约束¶
\(g_1=x,\ g_2=2x\) 的梯度处处相关。可行集其实只是 \(x=0\)，应删除冗余描述后直接 按单约束分析，而不能声称满秩。
即时检验与回望¶
即时检验 1¶
\(m\) 个约束的 Jacobian 满行秩是多少？
答案
秩为 \(m\)，因此必须有 \(m\le n\)。
即时检验 2¶
异常点能否因乘子定理不适用而忽略？
答案
不能，它可能正是真实极值点。
常见误区与后续¶
- 约束方程数量不等于独立约束数量。
- 先验检查秩，再解释乘子。
- 异常点需要直接几何或参数化分析。
习题与答案¶
习题 1¶
写出两个约束的乘子方程。
答案
\(\nabla f+\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2=0,\ g_1=g_2=0\)。
习题 2¶
重复约束为何导致乘子不唯一？
答案
法向量线性相关，同一法向组合有多组系数。
习题 3¶
满行秩时切空间是什么？
答案
\(\ker DG(a)\)。
习题 4¶
法空间是什么？
答案
\(\operatorname{range}DG(a)^\mathsf\)，由约束梯度张成。
习题 5¶
球面与 \(z=0\) 的交集局部维数是多少？
答案
\(3-2=1\)。
习题 6¶
秩下降是否必表示可行集不存在？
答案
不表示，可能是交叉、尖点、冗余描述或其他退化。
习题 7¶
发现冗余约束后能否随意删除？
答案
需先证明删除后局部可行集不变。
习题 8¶
异常点的首要处理是什么？
答案
直接描述其附近可行集，而非套用正则乘子定理。
习题 9¶
多个约束下目标梯度位于哪里？
答案
正则点处位于约束梯度张成的法空间。
习题 10¶
本章对不等式约束作何处理？
答案
明确排除，留给后续 KKT 与可行方向理论。