一致 Cauchy 判据怎样把尾部转化为可检查条件？¶

先备知识¶

熟悉实数完备性、Cauchy 准则和一致收敛。

学习目标¶

能用任意两个远端截断之间的积分判断一致收敛。

牵引问题¶

不知道极限函数时，怎样只用被积函数检查一致收敛？

探索与猜想¶

比较两个足够远的截断，就能把未知极限从条件中消去。

概念与理论¶

一致 Cauchy 判据¶

\(\int_a^\infty f(x,t)dx\) 关于 \(T\) 一致收敛，当且仅当

这就是统一尾项条件，也是充要性陈述。

必要性¶

若截断积分一致趋于 \(F\)，取所有截断到 \(F\) 的误差小于 \(\varepsilon/2\)。由三角不等式，任意两个远端截断之差小于 \(\varepsilon\)。

充分性¶

固定每个 \(t\)，条件使截断积分成为 Cauchy 族，由实数完备性得到极限 \(F(t)\)。再固定 \(A\ge A_0\)，令 \(B\to\infty\)，保留同一估计，得到 \(|F(t)-F_A(t)|\le\varepsilon\)，而且对所有参数同时成立。

奇端点版本¶

把 \(B>A\ge A_0\) 换成 \(0<\eta<\delta\le\delta_0\)，控制 \(\left|\int_{a+\eta}^{a+\delta}f(x,t)dx\right|\) 即可。

例题与迁移¶

例 1：绝对尾界¶

若 \(|f(x,t)|\le g(x)\) 且 \(\int_A^\infty g\to0\)，统一 Cauchy 条件立即成立。

例 2：失败诊断¶

若能为每个 \(A_0\) 找到 \(t,A,B\) 使尾积分不小，则一致收敛失败。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

判据为何不出现 \(F\)？

即时检验 2¶

充分性依赖哪条实数性质？

常见误区与后续¶

• 只控制 \(\int_A^{A+1}\) 通常不够，判据要求任意 \(B>A\)。
• 绝对值在积分外；振荡抵消可使尾积分小。

习题与答案¶

习题 1¶

判据中的截断阈值依赖什么？

习题 2¶

为何要求任意 \(B>A\)？

习题 3¶

必要性怎样分配误差？

习题 4¶

充分性先固定什么？

习题 5¶

怎样恢复一致性？

习题 6¶

判据是否允许条件收敛？

习题 7¶

反证失败时要构造什么？

习题 8¶

奇端点版本比较哪两个截断？

习题 9¶

统一尾项有什么优势？

习题 10¶

判据是充分还是必要？