序章失败序列怎样被新理论完整解释？¶

先备知识¶

掌握可数零测集、可测函数、简单函数积分、MCT 与一维 Lebesgue 判据。

学习目标¶

逐项回答序章四问，并总结集合、函数和积分对象的升级链。

牵引问题¶

旧理论在哪里失败，新理论究竟增加了什么，而不是简单换一种算法？

探索与猜想¶

失败来自 Riemann 可积函数类对逐点极限不封闭；可数零测集与 MCT 恰好补上缺口。

概念与理论¶

序列重建¶

枚举 [0,1]∩Q 为 \(q_1,q_2,\ldots\)，令 \(f_n=\mathbf1_{\{q_1,\ldots,q_n\}}\)。每个 f_n 只在有限集非零，Riemann 可积且 积分为 0；它们逐点递增到 Dirichlet 函数 \(f=\mathbf1_{[0,1]\cap\mathbb Q}\)。

四问闭环¶

第一，可数集为零测集，所以 f 可测且 Lebesgue 积分为 0。第二，可测函数类对逐点极限封闭， 所以极限仍留在新对象世界。第三，MCT 给出 \(\int f_n\uparrow\int f=0\)，极限交换合法。 第四，f 处处不连续，按一维 Lebesgue 判据不 Riemann 可积；这不与前述结论冲突，因为 旧积分根本未给极限函数赋值。

对象升级链¶

有限分割升级为可数覆盖，Jordan 型集合升级为 Lebesgue 可测集，Riemann 阶梯升级为 可测简单函数，积分从分割极限升级为下方简单函数上确界，极限交换则由带假设的定理管理。

例题与迁移¶

例 1：积分数列¶

所有 ∫f_n=0，极限积分也为 0；数值相同不等于旧理论对极限函数有定义。

例 2：换成无理数¶

1−f 是无理数指示函数，Lebesgue 积分为 1，同样处处不连续。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

每个 f_n 为何 Riemann 可积？

即时检验 2¶

极限函数为何不 Riemann 可积？

常见误区与后续¶

• “逐点极限失败”不是说极限不存在，而是旧可积类不封闭。
• 第十一部没有发展更高维、乘积结构或函数空间。

习题与答案¶

习题 1¶

f_n 的支撑有多少点？

习题 2¶

f_n 的 Riemann 积分是多少？

习题 3¶

序列以何种方式单调？

习题 4¶

逐点极限是什么？

习题 5¶

极限函数可测吗？

习题 6¶

极限函数的 Lebesgue 积分是多少？

习题 7¶

哪条定理交换极限与积分？

习题 8¶

旧理论失败在哪一步？

习题 9¶

可数性怎样进入证明？

习题 10¶

对象升级的核心目的是什么？