正则参数曲线怎样描述运动、方向与切向量？¶

先备知识¶

会求向量函数的导数，理解 Euclid 空间中的范数与单位向量。

学习目标¶

能区分几何曲线像与它的一次走法，检查正则性，并在光滑段上确定方向与单位切向量。

牵引问题¶

同一个圆可以从任一点、以不同速度和方向走过；哪些信息属于圆，哪些属于参数化？

探索与猜想¶

比较 \(r(t)=(\cos t,\sin t)\) 与 \(q(s)=(\cos 2s,\sin 2s)\)：像相同，速度不同； 若参数区间都走一周，方向相同。可见“点集相同”并不确定运动与方向。

概念与理论¶

正则参数曲线¶

参数化曲线是连续映射 \(r:[a,b]\to\mathbb R^n\)，其曲线像是点集 \(r([a,b])\)，而参数化还记录点的访问顺序和速度。若 \(r\in C^1\) 且每个内点 \(r'(t)\ne0\)，称为正则；此时速度为 \(\|r'(t)\|\)，单位切向量为

参数从 \(a\) 增至 \(b\) 规定曲线的方向。

若存在有限分割 \(a=t_0<\cdots<t_m=b\)，使每个闭子区间上的限制光滑、在开段 正则，并有单侧导数，则称分段光滑正则。端点只要求相应单侧速度；折点处左右 切向量可不同，不强求一条切线。正则性排除在段内“停住”的退化参数化，却不排除 曲线自交，也不要求端点不同。

例题与迁移¶

例 1：同一圆的两种走法¶

\(r(t)=(\cos t,\sin t),0\le t\le2\pi\) 逆时针走一周， \(q(t)=(\cos t,-\sin t)\) 顺时针走一周。二者曲线像相同； \(r'(t)=(-\sin t,\cos t)\ne0\)，故第一条正则且 \(T=r'\)。

例 2：折线的折点¶

令 \(r(t)=(t,0)\)（\(-1\le t\le0\)），\(r(t)=(0,t)\)（\(0\le t\le1\)）。 它在两段内速度非零，端点有单侧导数，故分段光滑正则；在原点左右切向量分别为 \((1,0)\)、\((0,1)\)，原点是折点。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(r(t)=(t^3,t^6),-1\le t\le1\) 是否正则？

即时检验 2¶

闭曲线能否正则？

常见误区与后续¶

• 曲线像是点集，参数化还含方向与速度。
• 自交不等于不正则；段内速度为零才破坏正则。
• 折点允许左右切向量不同。下一单元用参数分割逼近弧长。

习题与答案¶

习题 1¶

判断 \(r(t)=(t,t^2)\) 是否正则。

习题 2¶

求螺旋线 \((\cos t,\sin t,t)\) 的单位切向量。

习题 3¶

\((t^2,t^3)\) 在含零区间上为何不正则？

习题 4¶

把 \((t,0),0\le t\le1\) 反向参数化。

习题 5¶

正则曲线能否经过同一点两次？

习题 6¶

为什么端点采用单侧导数？

习题 7¶

分段光滑定义为何要求有限分割？

习题 8¶

曲线 \((\cos 2t,\sin 2t),0\le t\le2\pi\) 与标准圆周走法有何差别？