可固定化的移动区域怎样化为固定区域问题？¶

先备知识¶

熟悉多元换元公式、Jacobian 行列式和复合函数求导。

学习目标¶

能把规则移动区域化为固定域上的含参积分，并识别变换自身的贡献。

牵引问题¶

积分域随参数变化时，能否换一套随区域运动的坐标？

探索与猜想¶

若所有区域都来自同一参考域的光滑变换，变化可转移到被积函数与 Jacobian 中。

概念与理论¶

固定参考域工作流¶

设固定紧区域为 \(U\)，对每个 \(t\)，\(\Phi_t:U\to D_t\) 是适用换元公式的双射，并且

\[ D_t=\Phi_t(U). \]

则

\[ \int_{D_t}f(x,t)\,dx =\int_U f(\Phi_t(u),t)|\det D_u\Phi_t(u)|\,du. \]

右端的积分域固定；但新核同时包含复合函数与 \(|\det D_u\Phi_t(u)|\) 的参数变化。只有在这些量满足第 43.1 单元的连续偏导条件后，才能对积分号下求导。

条件审计¶

依次检查：参考域固定；\(\Phi_t\) 可逆且足够光滑；Jacobian 不退化；换元后的核及其参数偏导联合连续。任何一步缺失都不能靠形式代换补上。

后续去向¶

一般运动流体区域对应 Reynolds 输运定理；优化中的边界扰动会通向形状导数。它们需要更丰富的边界正则性与几何结构，本书在此只给学习路标。

例题与迁移¶

例 1：伸缩区间¶

当 \(D_t=[0,t]\)、\(t>0\) 时，取 \(\Phi_t(u)=tu\)、\(U=[0,1]\)，则

\[ \int_0^t f(x,t)\,dx=\int_0^1 f(tu,t)t\,du. \]

例 2：伸缩矩形¶

令 \(\Phi_t(u,v)=(tu,v)\)，则 Jacobian 绝对值为 \(t\)。区域宽度的变化正由该因子记录。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

换元后积分域还移动吗？

答案

不移动，固定为参考域 \(U\)。

即时检验 2¶

只对 \(f\) 求参数偏导够吗？

答案

不够，还要对复合映射和 Jacobian 因子的参数依赖求导。

常见误区与后续¶

Jacobian 绝对值不能遗漏，否则面积或体积缩放没有被记录。
本单元只处理能由统一光滑变换固定化的区域；更一般理论留待后续。

习题与答案¶

习题 1¶

\(\Phi_t(u)=tu\) 的一维 Jacobian 是多少？

答案

\(t>0\) 时绝对值为 \(t\)。

习题 2¶

固定参考域的核心作用是什么？

答案

把区域变化转移为固定域上新核的变化。

习题 3¶

Jacobian 退化意味着什么？

答案

变换可能失去局部可逆性，不能直接使用该换元。

习题 4¶

写出伸缩区间的换元。

答案

\(x=tu\)，\(dx=t\,du\)。

习题 5¶

新核包含哪三类参数依赖？

答案

\(f\) 的显式依赖、\(\Phi_t\) 的复合依赖及 Jacobian 依赖。

习题 6¶

为何要求统一参考域？

答案

才能把所有参数下的积分写在同一集合上比较。

习题 7¶

二维均匀伸缩 \(\Phi_t(u)=tu\) 的面积因子是什么？

答案

\(t^2\)（当 \(t>0\)）。

习题 8¶

换元后何时可用固定域求导定理？

答案

新核及其参数偏导在相应紧集上连续时。

习题 9¶

绝对值有什么作用？

答案

保证换元记录无向面积或体积缩放。

习题 10¶

本单元处理哪类移动域？

答案

可由统一、可逆、足够光滑的参数变换固定化的区域。