反函数的变化率为何是原导数的倒数？¶

先备知识¶

你需要知道严格单调函数在其值域上有反函数，并掌握链式法则。第 10 章已经说明常见初等 函数的连续性接口。本单元会逐条声明还需要哪些先备性质，不把“熟悉的导数表”当作证明。

特别要区分两件事：

• 构造函数： 说明一个函数对象如何从实数体系建立；
• 证明导数： 在函数及其明确性质已经给定后，由差商极限推出导数公式。

本单元完成第二件事。三角函数所需的基本极限会在页内证明；标准实指数函数所需的归一化 极限会作为明示的先备合同。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

1. 写出反函数求导定理的全部条件；
2. 不借助循环论证证明反函数导数公式；
3. 从反函数定理推出正半轴上的有理幂导数；
4. 从弧度制几何基本极限推出正弦、余弦导数；
5. 说明指数、对数导数依赖的归一化合同。

牵引问题¶

若 \(f\) 把输入变化 \(\Delta x\) 放大为约 \(f'(a)\Delta x\)，那么反向恢复输入时， 输出变化 \(\Delta y\) 应被缩小为约

这提示

但这个式子至少留下三个问题：当反函数自变量趋于 \(f(a)\) 时，原自变量是否真的趋于 \(a\)？差商倒置时分母是否非零？若 \(f'(a)=0\)，公式又意味着什么？

探索与猜想¶

设 \(g=f^{-1}\)、\(b=f(a)\)。对 \(y\ne b\)，令 \(x=g(y)\)。由于严格单调， \(x\ne a\)，并且

若 \(y\to b\) 能保证 \(x\to a\)，而原函数差商趋于一个非零数，就可以取倒数极限。 因此反函数连续性和 \(f'(a)\ne0\) 不是装饰条件，而是这条推理的两个关节。

概念与理论¶

引理：区间反函数连续¶

设 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续且严格单调，\(a\) 是 \(I\) 的内点， \(b=f(a)\)，并令 \(g=f^{-1}\) 定义在值域 \(f(I)\) 上，则 \(g\) 在 \(b\) 连续。

证明。 先设 \(f\) 严格递增。给定 \(\varepsilon>0\)，只需考虑 \(a-\varepsilon,a+\varepsilon\in I\) 的情形；若原来的 \(\varepsilon\) 较大，就先 换成一个更小的正数，所得估计仍能推出最终的 \(\varepsilon\) 要求。取

若 \(y\in f(I)\) 且 \(|y-b|<\delta\)，则

对不等式应用递增的反函数，得到

即 \(|g(y)-g(b)|=|g(y)-a|<\varepsilon\)。

若 \(f\) 严格递减，则改取

此时

由反函数严格递减仍得到 \(a-\varepsilon<g(y)<a+\varepsilon\)。两种情形都满足连续性的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义。\(\square\)

定理：反函数求导¶

设 \(f\) 在一个区间 \(I\) 上连续且严格单调，\(a\) 是 \(I\) 的内点，记 \(b=f(a)\)、\(g=f^{-1}\)。再假设：

• 反函数 \(g=f^{-1}\) 在 \(b\) 连续（由上一引理可得）；
• \(f\) 在 \(a\) 处可导；
• \(f'(a)\ne0\)。

则 \(g\) 在 \(b\) 处可导，并且

证明障碍。 原函数的导数控制 \(x\to a\) 时的差商；反函数的导数却从 \(y\to b\) 出发。必须先把这两个趋近过程连接起来。

证明。 对值域中 \(y\ne b\) 的点令 \(x=g(y)\)。因为 \(g\) 是函数， \(g(b)=a\)；因为 \(f\) 严格单调而单射，\(y\ne b\) 蕴含 \(x\ne a\)。于是

当 \(y\to b\) 时，由 \(g\) 在 \(b\) 连续，

因此分母中的原函数差商趋于 \(f'(a)\ne0\)。极限的保号性质还保证该差商在充分靠近 \(a\) 时远离零，可以合法取倒数。于是

\(\square\)

上一引理说明，在本定理的区间设定下，反函数连续性由前面的假设自动得到。定理仍把它 显式列出，是为了准确标记差商证明实际使用了哪一步。

零导数为何是边界¶

令 \(f(x)=x^3\)。它在实数上连续、严格递增，反函数为 \(g(y)=\sqrt[3]y\)，但 \(f'(0)=0\)。在零点，

所以 \(g\) 在零点没有有限实数导数。事实上，一般地，若 \(f'(a)=0\) 而反函数 \(g\) 在 \(b=f(a)\) 处有有限导数，则由恒等式

和链式法则会得到

矛盾。因此在这些假设下，反函数 \(g\) 不可能在 \(b\) 处有有限导数。立方根例进一步 展示了差商趋于正无穷这一具体失效方式；非零条件确实不可删除。

正半轴上的有理幂¶

先设 \(q\) 为正整数。函数 \(F(t)=t^q\) 在 \((0,\infty)\) 上严格递增，且 \(F'(t)=qt^{q-1}>0\)。其反函数是 \(G(x)=x^{1/q}\)。由连续严格单调区间函数的 反函数连续性，\(G(x)=x^{1/q}\) 在 \((0,\infty)\) 上连续；反函数求导定理的条件 因而全部满足，并给出

若 \(r=p/q\)，其中 \(p\) 是整数、\(q\) 是正整数，则在 \(x>0\) 上

由整数幂与链式法则，

这证明了正半轴上的有理幂法则。若要讨论负数上的奇次根，必须另行核验定义域和零点； 不能从正半轴结论无条件外推。

弧度制基本极限¶

以下角度均用弧度。对 \(0<h<\pi/2\)，单位圆中的内接三角形、扇形和外切三角形面积 比较给出

第一个不等式给出 \(0<\sin h<h\)。结合正弦的奇性，对充分小的实数 \(u\) 有 \(|\sin u|\le|u|\)。于是由半角恒等式，

夹逼得到 \(\cos h\to1\)，这里不需要预先假设余弦连续。

除以正数 \(\frac12\sin h\)，并整理得

当 \(h\to0^+\) 时，再次使用夹逼得到

因为 \(\sin(-h)/(-h)=\sin h/h\)，左极限相同，所以

前面的半角估计还直接给出

这两个基本极限都已从弧度制几何与恒等式得到，没有借用三角函数的导数或连续性结论。

定理：常见初等函数的导数来源¶

在各自定义域内，有：

证明。 用加法公式，

同理，

\(\square\)

对指数函数，本页采用下列标准实指数函数先备合同：

1. \(e^{x+h}=e^x e^h\)；
2. \(e^x\) 连续、严格递增且值域为 \((0,\infty)\)；
3. 归一化极限

[ \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1. ]

在这个明示合同下，

所以

自然对数 \(\ln x\) 是 \(e^x\) 的反函数。由先备合同中的连续、严格单调和值域性质， 以及区间反函数连续性结论，\(\ln x\) 在 \((0,\infty)\) 上连续。又因为指数函数的 导数 \(e^a>0\)，反函数求导定理的全部条件成立，并给出

最后，对 \(a>0\)，定义 \(a^x=e^{x\ln a}\)。链式法则给出

当 \(a=1\) 时 \(\ln1=0\)，结论也正确。底数 \(a\le0\) 不属于这里的标准实指数函数 定义域合同。

例题与迁移¶

例题1：根式复合及定义域¶

设

由于 \(1+x^2>0\) 对所有实数成立，正半轴有理幂公式与链式法则可用于每个 \(x\)：

若把被开方式换成可能为零的函数，就必须另外检查端点处是否可导，不能只看形式公式。

例题2：指数与对数复合¶

求

的导数。

原函数定义域是 \(x>-1\)。由乘积与链式法则，

每一层都能追溯到明确来源：指数导数来自归一化合同，对数导数来自反函数定理，复合部分 来自链式法则。

即时检验与回望¶

检验1：反函数连续性用在哪里？¶

反函数求导证明中，为什么要明确写出 \(g\) 在 \(b\) 连续？

检验2：角度单位为何影响导数？¶

为什么 \((\sin x)'=\cos x\) 的公式要求 \(x\) 用弧度表示？

习题与答案¶

习题1：反函数在指定点的导数¶

设 \(f(x)=x+x^3\)。说明它在实数上严格递增，并求 \((f^{-1})'(2)\)。

习题2：三次根的非零点¶

用反函数求导计算 \(g(y)=\sqrt[3]y\) 在 \(y=8\) 处的导数，并说明为什么同一路线不能 直接用于 \(y=0\)。

习题3：正半轴上的有理幂¶

在 \(x>0\) 上求 \(x^{5/3}\) 的导数，并写出它依赖的两条法则。

习题4：三角复合¶

求 \(F(x)=\sin(x^2)\cos x\) 的导数。

习题5：一般底数的指数函数¶

设 \(a>0\)，求 \(F(x)=a^{3x-1}\) 的导数，并讨论 \(a=1\)。

常见误区与后续¶

1. 只写 \(1/f'(a)\)，不连接趋近变量。 反函数连续性负责把 \(y\to b\) 变成 \(g(y)\to a\)。
2. 把 \(f'(a)=0\) 当作可以“除以无穷小”。 导数必须是有限实数，零不能作分母。
3. 忽略有理幂的定义域。 本页统一证明的是 \(x>0\) 上的公式；其他区间需另证。
4. 把导数证明冒充函数构造。 本页没有用 Riemann 积分或无穷级数构造指数、对数或 三角函数；指数归一化极限是明确列出的先备合同。
5. 忘记弧度制。 三角函数的标准导数公式由弧度制基本极限决定。

下一单元将处理不能方便地显式解出 \(y\) 的关系，并建立二阶及更高阶导数的记号。我们 只在已知局部可微函数分支存在时执行隐式求导，不把代数方程本身当作存在性证明。