高阶微分和多重指标怎样组织混合偏导？¶

先备知识¶

掌握二阶 Fréchet 导数、偏导记号、阶乘与多项式展开。

学习目标¶

用多重指标压缩坐标公式；2. 把 \(D^kf(a)\) 视为 \(k\) 线性映射；
说明何时可以交换求导方向。

牵引问题¶

三阶以后偏导下标迅速膨胀。怎样既不丢失组合系数，又保留坐标无关的结构？

探索与猜想¶

\((h_1\partial_1+\cdots+h_n\partial_n)^k\) 的展开与多项式定理同形。多重指标负责计数，\(D^kf(a)[h,\ldots,h]\) 负责表达同一个坐标无关对象。

概念与理论¶

多重指标¶

令 \(\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb N_0^n\)，定义

\[ |\alpha|=\sum_i\alpha_i,\quad \alpha!=\prod_i\alpha_i!,\quad h^\alpha=\prod_i h_i^{\alpha_i},\quad \partial^\alpha f=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}f. \]

多项式定理给

\[ (z_1+\cdots+z_n)^k=\sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha!}z^\alpha. \]

高阶微分¶

递归定义 \(D^kf=D(D^{k-1}f)\)。经自然同构，

\[ D^kf(a):(\mathbb R^n)^k\to\mathbb R^m \]

是连续 \(k\) 线性映射。若 \(f\in C^k\)，逐次应用混合偏导交换定理可知它是 对称多线性映射：任意置换输入方向不改变结果。

对实值函数，

\[ D^kf(a)[h,\ldots,h] =\sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha!}\partial^\alpha f(a)h^\alpha. \]

系数 \(k!/\alpha!\) 是同一组坐标方向在所有排列中出现的次数。

正则性边界¶

\(f\in C^k\) 是高阶导数对称的方便充分条件。只知道某些迭代偏导存在时，求导次序可能影响结果；所以坐标公式中合并同类项前必须核验正则性。

例题与迁移¶

例 1：三阶方向展开¶

在二维中，

\[ D^3f(a)[h,h,h] =f_{xxx}h_1^3+3f_{xxy}h_1^2h_2+3f_{xyy}h_1h_2^2+f_{yyy}h_2^3. \]

例 2：多项式的导数终止¶

次数不超过 \(d\) 的多项式，其 \(d+1\) 阶及更高阶微分恒为零。这会使相应 Taylor 展开精确终止。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

\(\alpha=(2,1,0)\) 时，\(|\alpha|,\alpha!,h^\alpha\) 分别是什么？

答案

分别为 \(3,2,h_1^2h_2\)。

即时检验 2¶

为什么 \(D^3f(a)\) 需要三个方向参数？

答案

它是对二阶导数映射再次求导所得的连续三线性映射。

常见误区与后续¶

\(\alpha!\) 是各分量阶乘的乘积，不是 \(|\alpha|!\)。
\(D^kf(a)[h]^k\) 只是常见缩写，严谨写法是重复输入 \(h\) 共 \(k\) 次。
对称性来自正则性定理，不能仅凭符号外观假定。

习题与答案¶

习题 1¶

列出二维中所有满足 \(|\alpha|=3\) 的多重指标。

答案

\((3,0),(2,1),(1,2),(0,3)\)。

习题 2¶

计算 \(\alpha=(1,2,1)\) 的 \(\alpha!\)。

答案

\(1!2!1!=2\)。

习题 3¶

展开 \(D^2f(a)[h,h]\) 的二维坐标式。

答案

\(f_{xx}h_1^2+2f_{xy}h_1h_2+f_{yy}h_2^2\)，假设相应混合偏导可交换。

习题 4¶

\(D^kf(a)\) 对每个输入分别满足什么性质？

答案

线性；整体上是连续 \(k\) 线性映射。

习题 5¶

若 \(f\in C^k\)，交换两个方向参数会怎样？

答案

不改变 \(D^kf(a)\) 的值。

习题 6¶

为什么三阶展开中 \(f_{xxy}h_1^2h_2\) 的系数是 \(3\)？

答案

三个位置中选择一个放 \(y\) 方向，共 \(3!/(2!1!)=3\) 种。

习题 7¶

次数为二的多项式的三阶微分是什么？

答案

恒为零。

习题 8¶

仅有全部三阶迭代偏导存在，能否不加说明地合并为对称三线性形式？

答案

不能；还需适当连续性等保证混合偏导交换的条件。