为什么幂级数可以逐项积分与微分？¶

先备知识¶

需要第 25 章的积分、微分交换定理和上一单元的内闭区间一致控制。逐项运算必须先在有限部分和上成立，再证明极限交换合法。

学习目标¶

证明原级数与导数级数有相同收敛半径；
在半径内部合法逐项积分与微分；
证明幂级数表示的系数唯一；
推出和函数任意阶可微。

牵引问题¶

形式求导会多出因子 \(n\)。它为何不会缩小收敛半径？逐项求导为何不是单纯的符号规则？

探索与猜想¶

\(\sqrt[n]{n}\to1\)，所以因子 \(n\) 不改变根值的指数增长率。半径相同之后，导数级数在每个更小闭区间上一致收敛，正好满足上一章的微分交换条件。

概念与理论¶

导数级数具有相同收敛半径¶

原级数 \(\sum a_n(x-x_0)^n\) 的导数级数是

\[ \sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}. \]

若原半径为 \(R\)，则 Cauchy–Hadamard 中

\[ \limsup\sqrt[n]{|na_n|} =\limsup\bigl(\sqrt[n]n\,\sqrt[n]{|a_n|}\bigr) =\limsup\sqrt[n]{|a_n|}, \]

因为 \(\sqrt[n]n\to1\)。指标平移不改变半径，故二者具有相同收敛半径。积分级数的系数为 \(a_n/(n+1)\)，同理也有相同半径。

逐项积分与逐项微分¶

设

\[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\qquad |x-x_0|<R. \]

在任意 \(0<r<R\) 上，原级数及导数级数都在 \(|x-x_0|\le r\) 上一致收敛。有限部分和属于 \(C^1\)，并在基点 \(x_0\) 收敛，故第 25 章的微分交换定理给出

\[ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}. \]

积分交换定理给出

\[ \int_{x_0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}. \]

因任意内部点都可放入某个这样的闭区间，结论覆盖整个收敛开区间。

系数唯一性¶

反复逐项微分并代入 \(x=x_0\)，得到

\[ f^{(k)}(x_0)=k!a_k,\qquad a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}. \]

所以同一函数若在 \(x_0\) 的某邻域内有幂级数表示，系数唯一。重复上述论证还说明幂级数和函数在半径内部任意阶可微。

例题与迁移¶

例 1：几何级数求导¶

在 \(|x|<1\)，由 \(\sum x^n=1/(1-x)\) 合法求导得

\[ \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}. \]

例 2：逐项积分¶

在 \(|x|<1\)，从 \(0\) 到 \(x\) 积分几何级数：

\[ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}=-\log(1-x). \]

端点尚需另行判断。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么因子 \(n\) 不改变半径？

答案

因为其 \(n\) 次根趋于 \(1\)，不改变指数增长率。

即时检验 2¶

逐项微分结论是否自动覆盖端点？

答案

不覆盖；证明只在任意内闭区间上进行。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 \(\sum a_nx^n\) 的形式导数。

答案

\(\sum_{n\ge1}na_nx^{n-1}\)。

习题 2¶

写出从中心开始的逐项积分。

答案

\(\sum_{n\ge0}a_n(x-x_0)^{n+1}/(n+1)\)。

习题 3¶

为何要先证明导数级数同半径？

答案

为了在内闭区间获得导数列的一致收敛，满足微分交换条件。

习题 4¶

若 \(f(x)=\sum a_nx^n\)，求 \(a_3\)。

答案

\(a_3=f^{(3)}(0)/3!\)。

习题 5¶

两个幂级数在中心邻域表示同一函数，系数是否相同？

答案

相同；逐阶求导并代入中心即可。

习题 6¶

为什么只需在每个内闭区间证明？

答案

每个半径内部点都包含在某个内闭区间中。

习题 7¶

\(\sum nx^{n-1}\) 的半径是多少？

答案

与几何级数相同，为 \(1\)。

习题 8¶

幂级数和函数为何任意阶可微？

答案

每次求导后仍是同半径幂级数，可重复应用定理。

习题 9¶

形式运算何时才成为合法等式？

答案

在先证明相应级数一致收敛并满足第 25 章交换定理后。

常见误区与后续¶

同半径不代表端点行为相同。
形式求导是猜测，交换定理才是证明。
下一单元区分“拥有 Taylor 系列”和“等于该系列”。