哪些逐点收敛反例说明一致控制不可省略？¶

先备知识¶

掌握逐点与一致收敛、分段函数连续性和三角形面积。

学习目标¶

能逐项核对反例，而不是只背诵“逐点不够”。

牵引问题¶

峰值若越来越高却越来越靠近端点，每个固定点最终看不到它，积分会怎样？

探索与猜想¶

逐点观察可能漏掉移动的面积；积分会累计整个图像而保留这部分质量。

概念与理论¶

移动尖峰¶

在 \([0,1]\) 上定义连续分段线性函数

它满足 \(f_n(0)=0\)，在 \(x=\frac{1}{n}\) 处高度为 \(n\)，底宽为 \(2/n\)。 左右公式在拼接点取值一致，所以每个 \(f_n\) 连续。

对固定 \(x>0\)，当 \(n>2/x\) 时 \(x>2/n\)，故 \(f_n(x)=0\)；在 \(x=0\) 也恒为零。 因此 \(f_n\) 逐点趋于零函数。但是三角形面积为

所以 \(f_n\) 的积分极限是 1，而极限函数的积分是 0，二者不能交换。

失败边界¶

尖峰族不一致收敛，因为 \(\lVert f_n\rVert_\infty=n\)，甚至不一致有界。逐点收敛给出的 起始指标依赖 \(x\)，在峰顶 \(x=1/n\) 处总能看到大误差。

诊断原则¶

反例不是说所有逐点收敛都交换失败，而是说明“逐点收敛”单独不足以推出定理。

例题与迁移¶

例 1：面积缩小的尖峰¶

若底宽为 \(2/n^2\)、高度为 \(n\)，面积为 \(1/n\)，积分仍趋零；这说明峰高本身不是 唯一判据。

例 2：一致收敛对照¶

\(h_n(x)=x/n\) 满足 \(\lVert h_n\rVert_\infty=1/n\)，故积分与极限可以交换。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何固定 \(x>0\) 最终离开尖峰支集？

即时检验 2¶

本反例缺少第 42.3 节的哪个条件？

常见误区与后续¶

• 必须分别检查连续性、逐点极限和积分，缺一项都不能构成反例。
• 有限采样容易错过窄尖峰，不能验证交换合法性。

习题与答案¶

习题 1¶

计算原函数 \(f_n\) 的峰高。

习题 2¶

计算 \(f_n\) 的积分。

习题 3¶

证明 \(f_n(0)\to0\)。

习题 4¶

证明任意固定 \(x>0\) 最终有 \(f_n(x)=0\)。

习题 5¶

该函数列是否一致有界？

习题 6¶

为何积分不随支集长度趋零？

习题 7¶

若峰高固定为 1，底宽趋零，积分怎样？

习题 8¶

反例是否否定第 42.3 节定理？

习题 9¶

数值网格可能漏掉什么？

习题 10¶

写出交换失败的两个值。