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两个端点的信息怎样迫使中间出现特殊切线？

先备知识

你需要掌握局部极大值、局部极小值、闭区间最值定理以及一点导数的双侧差商定义。尤其要 区分：

  • “函数在闭区间上取得最大、最小值”是整体存在性结论；
  • “内点取得局部极值且可导”才允许从左右差商推出导数为零；
  • 区间端点不要求双侧可导，定理的导数结论发生在开区间内部。

学习目标

完成本单元后，你应当能够：

  1. 从左右差商符号证明 Fermat 极值必要条件；
  2. 说明 Rolle 定理的连续、可导与端点等值条件各自怎样进入证明；
  3. 用减去端点割线的方法证明 Lagrange 中值定理；
  4. 把平均变化率解释为某个内部点的瞬时变化率；
  5. 用反例诊断缺失条件，而不是机械套用公式。

牵引问题

设一辆车在两个时刻处于同一位置。如果位置函数连续，而且两个时刻之间每一点都有速度， 它是否必定在某一时刻瞬时静止？

图像直觉会说“车既然回到原处，中间总要掉头”。但“掉头”可能发生在尖点，位置也可能 发生跳跃。要把直觉变成定理，必须回答两件事：极值为何给出零导数？极值又为何一定在 区间内部出现？

探索与猜想

若函数在内点 \(c\) 取得局部最大值，则充分小的 \(h\) 满足

\[ f(c+h)-f(c)\le0. \]

当 \(h>0\) 时，差商不大于零；当 \(h<0\) 时，分母改变符号，差商不小于零。如果双侧 差商趋于同一个有限数，这个数只能是零。

若再知道 \(f(a)=f(b)\)，闭区间上的最大值或最小值一旦不全落在相同高度，就会有一个 极值被迫进入 \((a,b)\)。这提示了从局部极值到端点约束的证明链。

概念与理论

定理：Fermat 极值必要条件

设 \(c\) 是函数 \(f\) 定义域的内点。若 \(f\) 在 \(c\) 处可导，并且 \(c\) 是 \(f\) 的局部极大点或局部极小点，则

\[ f'(c)=0. \]

证明障碍。 “图像在极值处看起来水平”不是证明。真正可用的信息是极值点两侧差商 具有相反的符号约束。

证明。 先设 \(c\) 是局部极大点。存在 \(\delta>0\)，使得当 \(|h|<\delta\) 时，

\[ f(c+h)-f(c)\le0. \]

对 \(0<h<\delta\)，

\[ \frac{f(c+h)-f(c)}h\le0, \]

所以右导数若存在便不大于零。对 \(-\delta<h<0\)，分母为负，

\[ \frac{f(c+h)-f(c)}h\ge0, \]

所以左导数若存在便不小于零。因为 \(f'(c)\) 是同一个双侧极限，它既不大于零又不小于 零，只能等于零。

局部极小点时不等号全部反向，同样得到 \(f'(c)=0\)。\(\square\)

Fermat 条件只是必要条件，不是充分条件。例如 \(f(x)=x^3\) 在零点的导数为零，但零点 不是局部极值点。

定理：Rolle 定理

若函数 \(f\)

  1. 在闭区间 \([a,b]\) 上连续；
  2. 在开区间 \((a,b)\) 上可导；
  3. 满足 \(a<b\) 且 \(f(a)=f(b)\)；

则至少存在一点 \(c\in(a,b)\)，使

\[ f'(c)=0. \]

证明路线。 连续性先保证最大值与最小值确实取得；端点等值再把非恒定函数的某个极值 推入内部；内部可导性最后允许使用 Fermat 条件。

证明。 由闭区间最值定理，\(f\) 在 \([a,b]\) 上取得最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。

  • 若 \(M=m\)，则 \(f\) 在整个区间上为常值。任取 \(c\in(a,b)\)，都有 \(f'(c)=0\)。
  • 若 \(M>m\)，记共同端点值为 \(K=f(a)=f(b)\)。如果 \(M>K\)，最大值不可能在 两个端点取得，所以某个内部点取得最大值；如果没有 \(M>K\)，则 \(M=K\)，从 \(m<M\) 得 \(m<K\)，最小值不可能在端点取得。两种情形都得到一个内部极值点 \(c\)。

在非恒定情形，这个 \(c\) 属于 \((a,b)\)，而 \(f\) 在 \(c\) 可导。Fermat 条件给出 \(f'(c)=0\)。\(\square\)

条件失效时会怎样

  • 缺少闭区间连续。 在 \([0,1]\) 上令 \(f(x)=x\)（\(0\le x<1\)）， \(f(1)=0\)。端点等值且内部导数恒为 1，但函数在右端点不连续。
  • 缺少开区间可导。 \(f(x)=|x|\) 在 \([-1,1]\) 上连续且端点等值，却在内部 尖点零处不可导，其他点导数不为零。
  • 缺少端点等值。 \(f(x)=x\) 在 \([0,1]\) 上连续且内部可导，但没有水平切线。

这些例子说明条件不能未经检查便删去；它们并不宣称每个条件都是逻辑上独立的最弱条件。

定理：Lagrange 中值定理

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续、在 \((a,b)\) 上可导，且 \(a<b\)，则至少存在 \(c\in(a,b)\)，使

\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c), \]

等价地，

\[ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). \]

证明障碍。 Rolle 定理只能寻找水平切线，而现在要找的切线斜率一般不为零。需要先 从函数中减去端点割线，把目标斜率变成零。

证明。 记端点割线斜率为

\[ m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \]

并构造

\[ F(x)=f(x)-m(x-a). \]

\(F\) 在 \([a,b]\) 连续、在 \((a,b)\) 可导，而且

\[ F(a)=f(a),\qquad F(b)=f(b)-m(b-a)=f(a). \]

由 Rolle 定理，存在 \(c\in(a,b)\) 使 \(F'(c)=0\)。又

\[ F'(c)=f'(c)-m, \]

所以 \(f'(c)=m\)，结论成立。\(\square\)

定理只保证“至少存在某个 \(c\)”，既不保证唯一，也不提供从端点数据直接计算 \(c\) 的通用算法。

例题与迁移

例题1：端点等高迫使水平切线

对

\[ f(x)=x^2-1,\qquad x\in[-1,1], \]

有 \(f(-1)=f(1)=0\)。多项式在闭区间连续、在开区间可导，所以 Rolle 定理适用。

\[ f'(x)=2x. \]

令 \(f'(c)=0\)，得到 \(c=0\)。这里定理先保证内部点存在，计算再找出这个点。

例题2：平均速度等于某刻瞬时速度

物体的位置为

\[ s(t)=t^2+2t,\qquad 1\le t\le3. \]

位置函数满足 Lagrange 中值定理的条件。区间上的平均速度为

\[ \frac{s(3)-s(1)}{3-1} =\frac{15-3}{2}=6. \]

瞬时速度 \(s'(t)=2t+2\)。令 \(s'(c)=6\)，得到 \(c=2\in(1,3)\)。

这个例子中的 \(c\) 能直接算出，但定理的逻辑顺序仍是：先由条件保证存在，再利用具体 公式定位。

即时检验与回望

即时检验1

函数 \(f(x)=x^2-4x\) 在 \([0,4]\) 上能否使用 Rolle 定理？若能，找出所有满足结论 的 \(c\)。

答案

多项式在 \([0,4]\) 连续、在 \((0,4)\) 可导，并且 \(f(0)=f(4)=0\)，所以 Rolle 定理适用。

\[ f'(x)=2x-4, \]

因而 \(f'(c)=0\) 给出唯一的 \(c=2\)。

即时检验2

\(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \([0,1]\) 上是否满足 Lagrange 中值定理的条件？找出定理保证的 \(c\)。

答案

\(\sqrt{x}\) 在闭区间 \([0,1]\) 连续，并在开区间 \((0,1)\) 可导；定理不要求 端点处双侧可导。端点割线斜率为 1，而

\[ f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}. \]

解 \(f'(c)=1\) 得 \(c=1/4\)，确实属于 \((0,1)\)。

回看牵引问题：如果位置函数在闭时间区间连续、内部可导并回到原位置，Rolle 定理保证 某个内部时刻速度为零。连续性排除瞬移，可导性排除尖锐掉头，端点等值把某个极值推入 内部。

习题与答案

习题1：Fermat 条件的方向

证明：若 \(f\) 在内点 \(c\) 可导且取得局部极小值，则 \(f'(c)=0\)。指出证明中 “内点”条件的作用。

答案

局部极小给出充分小的 \(h\) 下 \(f(c+h)-f(c)\ge0\)。当 \(h>0\) 时差商 \(\ge0\)，当 \(h<0\) 时差商 \(\le0\)。双侧导数存在且两侧极限相同，因此只能 为零。“内点”保证可以同时取正、负的小增量；端点通常只有一个方向可用。

习题2：Rolle 点可以不唯一

对 \(f(x)=x^3-x\) 和区间 \([-1,1]\)，核验 Rolle 条件并找出全部满足结论的点。

答案

多项式连续且可导，端点值均为零。由

\[ f'(x)=3x^2-1 \]

得

\[ c=\pm\frac1{\sqrt3}. \]

两点都属于 \((-1,1)\)，说明定理只说至少存在一点，不保证唯一。

习题3：对数函数的中值点

对 \(f(x)=\ln x\) 和区间 \([1,e]\) 使用 Lagrange 中值定理，求满足结论的 \(c\)。

答案

\(\ln x\) 在 \([1,e]\) 连续、在 \((1,e)\) 可导。端点割线斜率为

\[ \frac{\ln e-\ln1}{e-1}=\frac1{e-1}. \]

因为 \(f'(c)=1/c\)，所以 \(c=e-1\)。由 \(1<e-1<e\)，该点确实在开区间内。

习题4：连续性缺口

在 \([0,1]\) 上定义

\[ f(x)= \begin{cases} x,&0\le x<1,\\ 0,&x=1. \end{cases} \]

说明它为什么不能作为 Rolle 定理的应用，却能作为缺少端点连续性的反例。

答案

有 \(f(0)=f(1)=0\)，而 \(f\) 在 \((0,1)\) 可导且 \(f'(x)=1\)，所以区间内部 没有导数为零的点。失败原因是

\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=1\ne f(1)=0, \]

即函数不在闭区间上连续。

习题5：尖点不能被忽略

令 \(f(x)=|x|^{2/3}\)，\(x\in[-1,1]\)。核验端点值和连续性，并说明为什么不能由 Rolle 定理断言存在 \(f'(c)=0\)。

答案

函数在 \([-1,1]\) 连续，且 \(f(-1)=f(1)=1\)。但它在内部点 \(0\) 不可导； 对 \(x\ne0\)，

\[ f'(x)=\frac23\operatorname{sgn}(x)|x|^{-1/3}, \]

从不等于零。因此缺少“在整个开区间可导”的条件，Rolle 定理不能应用。

常见误区与后续

  • 把 \(f'(c)=0\) 当成极值的充分条件。 Fermat 条件只有从极值到零导数的必要 方向；\(x^3\) 已给出反例。
  • 只核验端点等值。 Rolle 定理还需要闭区间连续和整个开区间可导。
  • 把存在点当成唯一点。 定理中的 \(c\) 可能有多个，也可能无法显式求出。
  • 证明 Lagrange 时直接引用图像。 可迁移的方法是减去端点割线，把目标斜率归零。

下一单元将把

\[ f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1) \]

用于任意两点，从导数符号推出整个区间的单调性、常值判别与增量控制，并进一步研究导数 本身为什么具有介值性质。