Lagrange 乘子怎样处理正则等式约束？¶

先备知识¶

掌握隐函数定理、梯度、切空间与一阶必要条件。

学习目标¶

1. 先检查正则性；2. 推导 Lagrange 乘子条件；3. 不把必要条件误作最优证明。

牵引问题¶

受约束方向减少后，目标梯度为何不必为零，而必须落在约束法向方向中？

探索与猜想¶

对标量约束 \(g(x)=0\)，正则点满足 \(\nabla g(a)\ne0\)。可行切向量 \(v\) 满足 \(\nabla g(a)^\mathsf Tv=0\)。极值点又满足 \(\nabla f(a)^\mathsf Tv=0\)，所以两个 梯度平行。

概念与理论¶

正则约束与必要条件¶

设 \(f,g\in C^1\)，\(g(a)=0\)，且 \(a\) 是约束集上的局部极值。若 \(\nabla g(a)\ne0\)（正则或约束资格成立），则存在 \(\lambda\) 使

符号约定可把 \(\lambda\) 换号。证明用隐函数定理参数化约束集，再对参数化后的目标 使用一阶条件；等价地，目标梯度属于切空间的正交补。

这是 Lagrange 乘子的一阶必要条件。求得方程解后仍需检查可行性、边界结构、 异常点和目标值。

约束资格先行¶

若 \(\nabla g(a)=0\)，乘子结论可能丢失真实极值，也可能产生无信息等式。 必须先做约束资格检查，失败时直接分析可行集。本单元只处理光滑等式约束， 不覆盖不等式约束，也不建立一般 KKT 理论。

例题与迁移¶

例 1：圆上极值¶

在 \(x^2+y^2=1\) 上极值化 \(x+y\)。方程 \((1,1)+\lambda(2x,2y)=0\) 给 \(x=y=\pm1/\sqrt2\)，比较得最大最小值。

例 2：退化约束¶

约束 \(g(x,y)=(x^2+y^2)^2=0\) 的可行集只有原点，但 \(\nabla g(0)=0\)。 原点对任何目标都是可行集上的极值，却未必满足有信息的正则乘子推导。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为什么要同时写驻点方程和 \(g(a)=0\)？

即时检验 2¶

\(\nabla g(a)=0\) 时能否直接丢弃该点？

常见误区与后续¶

• 先检查约束正则性，再写乘子方程。
• 乘子解只是候选。
• 不等式约束需要额外互补与可行方向理论，本章不覆盖。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 \(x+y\) 在单位圆上的乘子方程。

习题 2¶

单位圆约束在哪些点正则？

习题 3¶

乘子符号为何可有两种约定？

习题 4¶

正则水平集的切向量满足什么？

习题 5¶

为什么目标梯度属于法向空间？

习题 6¶

若约束集紧致且目标连续，乘子条件是否负责存在性？

习题 7¶

约束 \(x^2+y^2=0\) 在原点正则吗？

习题 8¶

不正则点应如何处理？

习题 9¶

乘子方程解是否自动为极值？

习题 10¶

本单元为何不处理 \(g(x)\le0\)？