幂级数为什么在收敛区间内部表现稳定？¶

先备知识¶

需要收敛半径与 Weierstrass M 判别。固定任意 \(0<r<R\)，讨论 \(|x-x_0|\le r\)。

学习目标¶

1. 证明每个内闭区间上一致绝对收敛；
2. 推出和函数在收敛开区间内连续；
3. 解释“局部一致”不等于在整个开区间一致；
4. 保留端点的独立性。

牵引问题¶

半径内部每点绝对收敛，怎样得到一个截断位置同时控制某个闭区间上的全部点？

探索与猜想¶

选择 \(r<\rho<R\)。在 \(\rho\) 处的绝对收敛给出数项控制 \(|a_n|\rho^n\)，而 \(|x-x_0|\le r\) 甚至可用它直接控制。

概念与理论¶

内闭区间一致绝对收敛¶

定理。 对任意 \(0<r<R\)，幂级数在

上一致绝对收敛。

证明。 因 \(r<R\)，数项级数 \(\sum|a_n|r^n\) 收敛。对 \(x\in K_r\)，

由 M 判别，一致绝对收敛。证毕。

内部连续性¶

有限部分和是多项式，故连续。任意内部点都属于某个 \(K_r\)，上一章的一致极限定理 说明和函数在该点连续。因此和函数在整个收敛开区间内连续。

整个开区间未必一致¶

几何级数 \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) 在 \((-1,1)\) 内收敛，但余项

在 \(x\to1^-\) 时无界，故不在整个开区间上一致收敛。每个内闭区间上一致不等于 整个开区间上一致。端点也不能由内部结论自动覆盖。

例题与迁移¶

例 1：几何级数内闭区间¶

在 \([-r,r]\)、\(r<1\) 上，\(|x^n|\le r^n\)，故一致绝对收敛。

例 2：中心平移¶

若中心为 \(2\)、半径为 \(3\)，则任意 \([2-r,2+r]\)、\(r<3\) 上结论成立， 并不要求中心为零。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

为何必须有 \(r<R\) 而非 \(r\le R\)？

即时检验 2¶

局部一致结论怎样推出每个内部点连续？

习题与答案¶

习题 1¶

\(\sum x^n\) 在 \([-1/2,1/2]\) 的 M 控制是什么？

习题 2¶

内闭区间一致收敛是否覆盖端点？

习题 3¶

为何部分和函数连续？

习题 4¶

整个开区间一致收敛失败是否矛盾于局部一致？

习题 5¶

若 \(R=\infty\)，可否在整个实线上直接断言一致收敛？

习题 6¶

选择更大的 \(r\) 会怎样影响几何控制？

习题 7¶

若一个端点条件收敛，是否称该处一致绝对收敛？

习题 8¶

本定理使用上一章哪个核心工具？

常见误区与后续¶

• “在每个内闭区间一致”不能删掉“每个”或“内”。
• 连续性是内部局部结论，不替代端点检查。
• 下一单元用这种局部一致性证明逐项运算。