Stokes 公式怎样在单个参数曲面片上证明？¶

先备知识¶

掌握 Green 公式、三维旋度、参数曲面面积向量与诱导边界方向。

学习目标¶

能把曲面边界线积分拉回参数域，逐项识别旋度与叉积，并指出每条假设的位置。

牵引问题¶

为什么空间曲线上的环流，会等于跨越它的曲面上旋度通量？

探索与猜想¶

若把空间线积分写成参数域边界上的二维一形式，Green 公式应把它变成二重积分。

概念与理论¶

单参数片上的 Stokes 公式¶

设 \(D\subset\mathbb R^2\) 是有界简单区域，具有分片光滑边界；\(r\in C^2\) 在 \(D\) 的邻域定义、一一且正则，\(S=r(D)\) 取 \(r_u\times r_v\) 方向，边界取诱导方向。设 \(F=(P,Q,R)\in C^1(U)\)，其中 \(U\) 是 \(S\) 的邻域。则

\[ \oint_{\partial S}F\cdot dr =\iint_D\operatorname{curl}F(r(u,v))\cdot(r_u\times r_v)\,du\,dv. \]

证明障碍¶

左侧沿空间边界积分，Green 公式却只作用于参数域；还必须精确核对链式法则的九项。

证明路线¶

先做拉回计算，把 \(F(r)\cdot dr\) 写成参数域上的 \(A\,du+B\,dv\)，再应用 Green 公式，最后识别叉积。

逐步证明¶

沿参数域曲线有 \(dr=r_u\,du+r_v\,dv\)，因此

\[ F(r)\cdot dr=F(r)\cdot r_u\,du+F(r)\cdot r_v\,dv=A\,du+B\,dv. \]

诱导边界方向保证 \(\partial D\) 的正向映到 \(\partial S\) 的正向。Green 公式给出

\[ \oint_{\partial S}F\cdot dr=\oint_{\partial D}A\,du+B\,dv =\iint_D(B_u-A_v)\,du\,dv. \]

为避免把链式法则藏在记号里，写 \(r=(x,y,z)\)、\(F=(P,Q,R)\)。于是

\[ \begin{aligned} A&=P(r)x_u+Q(r)y_u+R(r)z_u,\\ B&=P(r)x_v+Q(r)y_v+R(r)z_v. \end{aligned} \]

把 \(DF(r)\) 看作 \(F\) 的 Jacobian，乘积法则与链式法则逐项给出

\[ \begin{aligned} B_u&=r_v\cdot DF(r)r_u+F(r)\cdot r_{vu},\\ A_v&=r_u\cdot DF(r)r_v+F(r)\cdot r_{uv}. \end{aligned} \]

因此

\[ B_u-A_v =r_v\cdot DF(r)r_u-r_u\cdot DF(r)r_v +F(r)\cdot(r_{vu}-r_{uv}). \]

因为 \(r\in C^2\)，三个坐标函数的混合偏导都相等，即 \(r_{vu}=r_{uv}\)，所以

\[ F(r)\cdot(r_{vu}-r_{uv})=0. \]

现在把剩余项完全展开。对角项 \(P_xx_ux_v\)、\(Q_yy_uy_v\)、 \(R_zz_uz_v\) 两两抵消，留下严格的六项排列：

\[ \begin{aligned} B_u-A_v={}&P_y(y_u x_v-y_v x_u) +P_z(z_u x_v-z_v x_u)\\ &+Q_x(x_u y_v-x_v y_u) +Q_z(z_u y_v-z_v y_u)\\ &+R_x(x_u z_v-x_v z_u) +R_y(y_u z_v-y_v z_u). \end{aligned} \]

按偏导差分组，恰为

\[ \begin{aligned} B_u-A_v={}&(R_y-Q_z)(y_u z_v-z_u y_v)\\ &+(P_z-R_x)(z_u x_v-x_u z_v)\\ &+(Q_x-P_y)(x_u y_v-y_u x_v)\\ =&\operatorname{curl}F(r)\cdot(r_u\times r_v). \end{aligned} \]

代回即得结论。

假设位置¶

\(F\in C^1\) 保证 \(DF\) 存在且连续，使上述复合函数链式法则和 Green 公式合法； \(r\in C^2\) 保证 \(r_u,r_v\) 可再微分并由混合偏导定理得到 \(r_{vu}=r_{uv}\)；正则性保证面积向量不退化；一一性避免参数域重复覆盖；分片光滑边界使 Green 与线积分合法。

边界¶

本证明只覆盖上述单个参数片。非一一覆盖、退化点、奇点或多片接缝不能被这一步隐藏。

取向检查¶

若取 \(-(r_u\times r_v)\)，必须同时反转 \(\partial S\)；两侧一起变号，等式保留。

迁移¶

下一页只对有限个满足兼容条件的正则参数片求和。

例题与迁移¶

例 1：上向平面圆盘¶

取 \(F=(-y/2,x/2,0)\)，旋度为 \((0,0,1)\)。上向单位圆盘右侧为 \(\pi\)，其边界从上看逆时针，左侧也为 \(\pi\)。

例 2：倾斜图形片¶

\(r(u,v)=(u,v,u+v)\) 有 \(r_u\times r_v=(-1,-1,1)\)。若 \(F=(0,0,u-v)\)（即空间中 \(F=(0,0,x-y)\)），则旋度为 \((-1,-1,0)\)，点乘面积向量得 \(2\)；单位方形参数域给出通量 \(2\)，边界逐边积分同样为 \(2\)。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

拉回后的 \(A,B\) 分别是什么？

答案

\(A=F(r)\cdot r_u\)，\(B=F(r)\cdot r_v\)。

即时检验 2¶

为什么需要边界诱导方向？

答案

它保证参数域 Green 公式的正边界映到曲面边界的正向。

常见误区与后续¶

不能省略复合函数链式法则，也不能把结论当作叉积恒等式直接背诵。
单参数片证明没有自动处理接缝和奇点。

习题与答案¶

习题 1¶

写出 Stokes 公式左侧对象。

答案

诱导方向边界上的第二类曲线积分 \(\oint_{\partial S}F\cdot dr\)。

习题 2¶

写出右侧面积向量。

答案

\((r_u\times r_v)\,du\,dv\)。

习题 3¶

Green 公式作用在哪个区域？

答案

参数域 \(D\)。

习题 4¶

哪个条件使混合偏导相消？

答案

\(r\in C^2\)。

习题 5¶

哪个条件排除退化面积向量？

答案

参数片正则，即 \(r_u\times r_v\ne0\)。

习题 6¶

反转曲面取向但不反转边界会怎样？

答案

右侧变号而左侧不变，方向不相容。

习题 7¶

常向量场的旋度通量是多少？

答案

零。

习题 8¶

势场能否产生非零闭路环流？

答案

在势函数沿曲线定义的条件下不能，闭路积分为零。

习题 9¶

参数域有孔时应检查什么？

答案

每个边界分支的正向，尤其内边界应反向。

习题 10¶

单片证明能否跨过场的奇点？

答案

不能；场必须在曲面邻域中为 \(C^1\)。