局部平均怎样恢复被积函数？¶

先备知识¶

设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，固定基点 \(c\in[a,b]\)，并令

\[ A(x)=\int_c^x f(t)\,dt. \]

第 20.1 单元已经证明 \(A\) Lipschitz 连续。本单元进一步研究 \(A\) 在某一点是否可导。我们只使用：

积分的区间可加性、线性与保序估计；
函数在一点连续的 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义；
内点双侧导数与端点单侧导数。

学习目标¶

完成本单元后，你应当能够：

把累积函数差商改写为带方向的局部平均；
用点态连续性控制局部平均与点值之差；
证明基本定理第一部分的连续点版本；
正确陈述闭区间端点处的右导数与左导数；
分析跳跃点和单点改值两种不同边界；
区分“导数存在”与“导数恢复指定点值”。

牵引问题¶

对 \(h\ne0\)，区间可加性把累积函数的差商化为

\[ \frac{A(x_0+h)-A(x_0)}{h} =\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt. \]

右侧是邻近小区间上的局部平均。若 \(f(t)\) 在这一小区间内都接近 \(f(x_0)\)，平均是否也会接近 \(f(x_0)\)？

真正需要的条件只发生在 \(x_0\) 附近，而不是要求 \(f\) 在整个闭区间上一致连续。

探索与猜想¶

先减去目标值：

\[ \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt-f(x_0) =\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}[f(t)-f(x_0)]\,dt. \]

当 \(h<0\) 时，积分方向与分母符号同时反转，因此右侧仍然是通常意义下的平均。只要把区间写成不依赖方向的 \(I_h\)，正、负 \(h\) 就能用同一个估计处理。

概念与理论¶

带方向的局部平均¶

设 \(x_0\in(a,b)\)，且 \(h\ne0\) 足够小，使 \(x_0+h\in[a,b]\)。定义

\[ I_h= \bigl[\min(x_0,x_0+h),\max(x_0,x_0+h)\bigr]. \]

若 \(h>0\)，

\[ \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f \]

是 \([x_0,x_0+h]\) 上的平均；若 \(h<0\)，则

\[ \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f =\frac1{|h|}\int_{x_0+h}^{x_0}f, \]

仍是 \(I_h\) 上的平均。负号不能只改积分方向而漏掉分母。

局部平均控制引理¶

引理。 对上述 \(x_0,h\)，有

\[ \left| \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt-f(x_0) \right| \le \sup_{t\in I_h}|f(t)-f(x_0)|. \]

证明。 由常数函数的积分，

\[ f(x_0)=\frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\,dt. \]

所以

\[ \begin{aligned} \left| \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt-f(x_0) \right| &= \frac1{|h|} \left| \int_{x_0}^{x_0+h}[f(t)-f(x_0)]\,dt \right|\\ &\le \frac1{|h|} \sup_{t\in I_h}|f(t)-f(x_0)|\,|h|\\ &= \sup_{t\in I_h}|f(t)-f(x_0)|. \end{aligned} \]

积分绝对值估计已经吸收端点方向，因此同一证明覆盖 \(h>0\) 与 \(h<0\)。证毕。

基本定理第一部分：连续点版本¶

定理。 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemann 可积，\(A(x)=\int_c^x f(t)\,dt\)。若 \(f\) 在内点 \(x_0\in(a,b)\) 连续，则 \(A\) 在 \(x_0\) 可导，并且

\[ A'(x_0)=f(x_0). \]

证明。 给定 \(\varepsilon>0\)。由 \(f\) 在 \(x_0\) 连续，存在 \(\delta_0>0\)，使得

\[ |t-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(t)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

再取

\[ \delta=\min\{\delta_0,x_0-a,b-x_0\}. \]

当 \(0<|h|<\delta\) 时，\(I_h\subset[a,b]\)，且其中每个 \(t\) 都满足 \(|t-x_0|<\delta_0\)。由局部平均控制引理，

\[ \left| \frac{A(x_0+h)-A(x_0)}h-f(x_0) \right| \le \sup_{t\in I_h}|f(t)-f(x_0)| \le\varepsilon. \]

因此差商趋于 \(f(x_0)\)，即 \(A'(x_0)=f(x_0)\)。证毕。

局部条件

证明只调用 \(f\) 在 \(x_0\) 的连续性。\(f\) 可以在远离 \(x_0\) 的其他点间断；那些点不会进入充分小的 \(I_h\)。

闭区间端点的单侧版本¶

若 \(f\) 在左端点 \(a\) 右连续，则

\[ A_+'(a) =\lim_{h\downarrow0}\frac{A(a+h)-A(a)}h =f(a). \]

若 \(f\) 在右端点 \(b\) 左连续，则

\[ A_-'(b) =\lim_{h\uparrow0}\frac{A(b+h)-A(b)}h =f(b). \]

端点外没有定义域，因而不能要求通常的双侧导数。证明与内点相同，只把 \(h\) 限定为允许的单侧方向。

连续被积函数的整体推论¶

推论。 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则

\[ A(x)=\int_a^x f(t)\,dt \]

在 \((a,b)\) 上可导且 \(A'=f\)，并在 \(a,b\) 分别满足对应的单侧导数结论。

连续性是保证局部平均恢复点值的充分条件。它不是累积函数导数存在的必要条件；在间断点处必须重新研究左右局部平均，不能只看“间断”两个字下结论。

例题与迁移¶

例 1：阶跃（跳跃）导致左右导数不同¶

在 \([-1,1]\) 上定义

\[ f(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ 1,&t\ge0, \end{cases} \qquad A(x)=\int_{-1}^x f(t)\,dt. \]

由常值积分与区间可加性，

\[ A(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\ x,&x\ge0. \end{cases} \]

因此

\[ A_-'(0)=0,\qquad A_+'(0)=1. \]

\(A\) 在 \(0\) 连续，却在 \(0\) 不可导。跳跃点两侧的局部平均趋向不同值。

例 2：单点改值不改变积分¶

在 \([-1,1]\) 上定义

\[ f(t)= \begin{cases} 1,&t=0,\\ 0,&t\ne0. \end{cases} \]

这是单点尖峰。第 19 章已证明它 Riemann 可积且任意子区间上的积分都是 \(0\)。故

\[ A(x)=\int_{-1}^x f(t)\,dt=0 \]

对所有 \(x\) 成立，于是 \(A'(0)=0\)。但 \(f(0)=1\)，所以

\[ A'(0)\ne f(0). \]

这个例子说明两件事：

\(f\) 间断时，\(A\) 的导数仍可能存在；
存在的导数未必恢复被重新指定的单点值。

因此连续性是恢复点值的充分条件，但不是必要条件；具体说，它不是累积函数导数存在的必要条件。

即时检验与回望¶

即时检验 1¶

当 \(h<0\) 时，把

\[ \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt \]

改写成通常方向区间上的平均。

答案

因为 \(h=-|h|\) 且

\[ \int_{x_0}^{x_0+h}f=-\int_{x_0+h}^{x_0}f, \]

所以

\[ \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f =\frac1{|h|}\int_{x_0+h}^{x_0}f. \]

积分方向与分母符号必须同时处理。

即时检验 2¶

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 连续，\(A(x)=\int_a^x f\)，在 \(x=a\) 应得到哪一种导数？

答案

只能得到定义域内的右导数：

\[ A_+'(a)=f(a). \]

除非另行把 \(A\) 延拓到 \(a\) 左侧，否则双侧导数没有定义。

习题与答案¶

练习 1：线性函数的局部平均¶

设 \(f(t)=t\)，\(A(x)=\int_0^x t\,dt\)。利用线性函数在区间上的积分，直接计算

\[ \frac{A(x_0+h)-A(x_0)}h \]

并取极限。

答案

线性函数在 \([x_0,x_0+h]\) 上的平均是两端点平均，因此

\[ \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}t\,dt =\frac{x_0+(x_0+h)}2 =x_0+\frac h2. \]

令 \(h\to0\)，得到 \(A'(x_0)=x_0=f(x_0)\)。

练习 2：局部而非整体连续¶

设 \(f\) 在 \([0,2]\) Riemann 可积，在 \(x_0=1\) 连续，但在 \(3/2\) 间断。能否断言 \(A(x)=\int_0^x f\) 在 \(1\) 可导？说明理由。

答案

可以。基本定理的连续点版本只需 \(f\) 在 \(x_0=1\) 连续。取足够小的邻域后， \(3/2\) 不在局部区间 \(I_h\) 中，因此该处间断不影响 \(A'(1)=f(1)\)。

练习 3：右端点¶

若 \(f\) 在 \([0,3]\) 连续，\(A(x)=\int_1^x f\)，写出 \(x=3\) 处正确的端点结论。

答案

正确结论是左导数

\[ A_-'(3)=f(3). \]

差商中 \(h\uparrow0\)，即 \(h<0\) 且趋于 \(0\)。不能在既定定义域上要求右导数。

练习 4：另一种跳跃¶

设

\[ f(t)= \begin{cases} -2,&t<1,\\ 3,&t\ge1, \end{cases} \]

定义在 \([0,2]\)。不必写出完整累积函数，直接求 \(A_-'(1)\) 与 \(A_+'(1)\)。

答案

左侧足够小区间上 \(f=-2\)，右侧足够小区间上 \(f=3\)，故

\[ A_-'(1)=-2,\qquad A_+'(1)=3. \]

两者不同，所以 \(A\) 在 \(1\) 不可导。

练习 5：单点值与积分¶

把连续函数 \(g\) 在一点 \(x_0\) 的值改为 \(g(x_0)+5\)，其余点不变，得到 \(f\)。比较两者的累积函数，并判断新累积函数在 \(x_0\) 的导数。

答案

单点改值不改变任一 Riemann 积分，因此两者累积函数完全相同。原累积函数在 \(x_0\) 的导数是 \(g(x_0)\)，新累积函数也有同一导数。但

\[ f(x_0)=g(x_0)+5, \]

所以导数不等于新指定的点值。

练习 6：过强结论诊断¶

判断下述推理的首个错误：

\(f\) 在 \(x_0\) 间断，所以 \(A(x)=\int_a^x f\) 在 \(x_0\) 必不可导。

答案

首个错误是把基本定理中的充分条件当成必要条件。定理说“若 \(f\) 在 \(x_0\) 连续，则 \(A'(x_0)=f(x_0)\)”；它没有说每个间断点都使导数不存在。单点改值例子中 \(f\) 间断而 \(A\) 仍为常函数。间断点处必须直接检查左右局部平均。

常见误区与后续¶

负 \(h\) 时漏掉一个负号。 积分方向与分母符号必须同时反转。
调用整段一致连续。 点态结论只需 \(f\) 在 \(x_0\) 连续。
端点写双侧导数。 闭区间端点只能从定义域内部取单侧极限。
把充分条件当成必要条件。 间断点处导数可能不存在，也可能存在。
认为单点值决定积分。 单点改值不改变 Riemann 积分，却会改变该点函数值。

下一单元将使用连续被积函数的整体推论，证明连续函数自动拥有原函数，并建立原函数端点差公式。